تاکنون ما دوران خالص (جسمی درجا میچرخد) یا انتقال خالص (جسمی در خط راست حرکت میکند) را مطالعه کردیم. اما در واقعیت، چرخها و کرهها همزمان میچرخند و حرکت میکنند. این ترکیب را حرکت غلتشی (rolling motion) مینامند.
تعریف حرکت غلتشی بدون لغزش
حرکت غلتشی بدون لغزش (rolling without slipping) موقعی رخ میدهد که:
- جسم حول محور خود میچرخد
- مرکز جرم انتقال مییابد
- هیچ لغزشی در نقطهی تماس بین جسم و سطح نیست
شرط بدونلغزش
فرض کنید دیسکی به شعاع \( R \) بدون لغزش روی سطح میغلتد. اگر:
- سرعت مرکز جرم: \( v_{cm} \)
- سرعت زاویهای: \( \omega \)
آنگاه:
\[ v_{cm} = \omega R \]
اثبات: در نقطهی تماس، سرعت باید صفر باشد:
\[ v_{\text{contact}} = v_{cm} - \omega R = 0 \implies v_{cm} = \omega R \]
مثال: توپی به شعاع 0.1 m بدون لغزش روی زمین میغلتد. مرکز آن با سرعت 2 m/s حرکت میکند. سرعت زاویهای چقدر است؟
\[ \omega = \frac{v_{cm}}{R} = \frac{2}{0.1} = 20 \text{ rad/s} \]
اجزای سرعت
در هر لحظه، هر نقطه روی جسم غلتشی دارای دو اجزای سرعت است:
- سرعت انتقالی: سرعت مرکز جرم (\( v_{cm} \))
- سرعت دورانی: سرعت نسبت به مرکز جرم (\( \omega r' \)، جاییکه \( r' \) فاصله از محور است)
نمودار سرعت
نقطههای مختلف روی دیسک:
- نقطهی تماس: \( v = 0 \) (بدون لغزش)
- مرکز: \( v = v_{cm} \)
- نقطهی بالایی: \( v = 2v_{cm} \) (سرعتهای انتقالی و دورانی جمع میشوند)
انرژی غلتشی
در حرکت غلتشی، انرژی جنبشی دارای دو بخش است:
\[ K_{\text{total}} = K_{\text{translational}} + K_{\text{rotational}} \]
\[ K_{\text{total}} = \frac{1}{2}m v_{cm}^2 + \frac{1}{2}I\omega^2 \]
جایگزینی شرط بدونلغزش
اگر از \( v_{cm} = \omega R \) استفاده کنیم:
\[ \omega = \frac{v_{cm}}{R} \]
\[ K_{\text{total}} = \frac{1}{2}m v_{cm}^2 + \frac{1}{2}I\left(\frac{v_{cm}}{R}\right)^2 \]
\[ K_{\text{total}} = \frac{1}{2}m v_{cm}^2 + \frac{I}{2R^2} v_{cm}^2 \]
\[ K_{\text{total}} = \frac{1}{2}\left(m + \frac{I}{R^2}\right) v_{cm}^2 \]
ضریب اشکال
میتوان این را به صورت سادهتری نوشت:
\[ K_{\text{total}} = \frac{1}{2}m v_{cm}^2 \left(1 + \frac{I}{mR^2}\right) \]
نکته: مقدار \( \frac{I}{mR^2} \) به شکل جسم بستگی دارد:
- استوانهٔ جامد: \( \frac{I}{mR^2} = \frac{1}{2} \)
- کره جامد: \( \frac{I}{mR^2} = \frac{2}{5} \)
- حلقه: \( \frac{I}{mR^2} = 1 \)
مثال عددی: سه جسم غلتشی
سه جسم (استوانهٔ جامد، کره، حلقه) با جرم m = 2 kg و شعاع R = 0.1 m بدون لغزش میغلتند. مرکز هر یک v_cm = 3 m/s.
استوانهٔ جامد: \[ I = \frac{1}{2}mR^2 = \frac{1}{2} \times 2 \times (0.1)^2 = 0.01 \text{ kg·m}^2 \]
\[ K = \frac{1}{2} \times 2 \times 3^2 + \frac{1}{2} \times 0.01 \times \left(\frac{3}{0.1}\right)^2 = 9 + 4.5 = 13.5 \text{ J} \]
کره: \[ I = \frac{2}{5}mR^2 = \frac{2}{5} \times 2 \times (0.1)^2 = 0.008 \text{ kg·m}^2 \]
\[ K = \frac{1}{2} \times 2 \times 3^2 + \frac{1}{2} \times 0.008 \times 30^2 = 9 + 3.6 = 12.6 \text{ J} \]
حلقه: \[ I = mR^2 = 2 \times (0.1)^2 = 0.02 \text{ kg·m}^2 \]
\[ K = \frac{1}{2} \times 2 \times 3^2 + \frac{1}{2} \times 0.02 \times 30^2 = 9 + 9 = 18 \text{ J} \]
نتیجه: کره کمترین انرژی (بیشترین کارایی)؛ حلقه بیشترین.
حرکت غلتشی بر روی صفحه شیبدار
هنگامیکه جسمی از صفحهٔ شیبداری رها میشود، دو اثر دارد:
- انتقال: جسم پایینتر میآید
- دوران: جسم میچرخد
استخراج شتاب
از پایستگی انرژی یا معادلات دینامیک:
\[ a_{cm} = \frac{g \sin\theta}{1 + \frac{I}{mR^2}} \]
مقایسه: اگر جسم بدون غلتش لغزید (\( I = 0 \)): \[ a_{\text{sliding}} = g\sin\theta \]
نکته: جسم غلتشی آهستهتر پایین میآید چون انرژی بین انتقال و دوران تقسیم میشود.
چه چیزی رو باید یاد گرفته باشی
- شرط بدونلغزش: \( v_{cm} = \omega R \)
- انرژی غلتشی: \( K = \frac{1}{2}m v_{cm}^2 + \frac{1}{2}I\omega^2 \)
- اثر شکل: جسمهای مختلف انرژیهای مختلف دارند
- صفحهٔ شیبدار: شتاب کمتر از لغزش خالص است
پیشنمایش §۱۱.۲
اکنون میدانیم چگونه حرکت غلتشی را تحلیل کنیم، اما چه چیزی باعث این حرکت میشود؟ پاسخ: گشتاور. بیایید به نیروهای داخل عمل کنیم و ببینیم که چگونه آنها باعث دوران میشوند.
📚 همچنین ببین: Halliday Vol 1, Ch 11, §11.1 — Rolling without slipping. 🔗 پیوند پیشین: §۱۰.۴ (انرژی دورانی) — اینجا از آن برای انرژی کل استفاده کردیم.
سوالی دارید؟ 🤔
اگه مفهومی نامشخص بود یا سوالی داشتید، اینجا بپرسید. جوابتون در اینجا منتشر میشه.