اگر میخواهی جسمی را بچرخانی، نمیتوانی فقط نیرو وارد کنی — باید کجا نیرو را وارد کنی و کدام جهت. این سؤال ما را به مفهوم گشتاور (torque) میرساند، که دقیقاً نسخهٔ دورانی نیرو است.
تعریف گشتاور
گشتاور اندازهٔ تمایل نیرو برای چرخاندن جسم حول یک محور است.
فرمول اساسی
اگر نیرویی \( \vec{F} \) در فاصلهٔ \( r \) از محور دوران عمود بر بازوی اهرم وارد شود:
\[ \tau = rF \sin\theta \]
جاییکه:
- \( r \) = فاصلهٔ از محور تا نقطهٔ اعمال نیرو
- \( F \) = بزرگی نیرو
- \( \theta \) = زاویهٔ بین \( \vec{r} \) و \( \vec{F} \)
حالت خاص: عمود بودن
اگر نیرو عمود بر بازوی اهرم باشد (\( \theta = 90° \)):
\[ \tau = rF \]
این بیشترین گشتاور است.
حالت خاص: موازی بودن
اگر نیرو موازی بازوی اهرم باشد (\( \theta = 0° \) یا \( 180° \)):
\[ \tau = 0 \]
نیروی موازی هرگز باعث چرخش نمیشود.
مثالهای عملی
مثال ۱: درب باز کردن
درب را در فاصلهٔ r = 0.8 m از لولاهای (محور) با نیروی عمود F = 10 N هل میدهی.
\[ \tau = rF = 0.8 \times 10 = 8 \text{ N·m} \]
اگر همان نیرو را درست روی لولا وارد کنی:
\[ \tau = 0 \]
درب تکان نمیخورد!
مثال ۲: پیچاندن مهره با آچار
آچاری به طول r = 0.3 m استفاده میکنی. نیرویی عمود F = 50 N وارد میکنی.
\[ \tau = 0.3 \times 50 = 15 \text{ N·m} \]
اگر به جای آچار، به درون مهره (فاصلهٔ 0.01 m) همان نیرو وارد کنی:
\[ \tau = 0.01 \times 50 = 0.5 \text{ N·m} \]
بسیار ضعیفتر!
بردار گشتاور
اگرچه معادلهٔ ساده \( \tau = rF \) است، گشتاور در واقع برداری است.
قانون دست راست
جهت \( \vec{\tau} \) توسط قانون دست راست تعیین میشود:
- انگشتان دستت را در جهت چرخش نشان بده
- شست در جهت \( \vec{\tau} \) است
علامت
- مثبت: چرخش پادساعتگرد (در نمودار ۲بعدی)
- منفی: چرخش ساعتگرد
گشتاور خالص و معادلهٔ دورانی نیوتن
اگر چند گشتاور روی جسم عمل کنند، گشتاور خالص تمام آنها را جمع میکنند:
\[ \tau_{\text{net}} = \tau_1 + \tau_2 + \tau_3 + \cdots \]
معادلهٔ دورانی نیوتن:
\[ \tau_{\text{net}} = I\alpha \]
جاییکه:
- \( I \) = ممان اینرسی
- \( \alpha \) = شتاب زاویهای
این دقیقاً مثل \( F_{\text{net}} = ma \) است، اما برای دوران!
مثال ۳: دینامیک دورانی
دیسکی با ممان اینرسی I = 2 kg·m² تحت سه گشتاور:
- \( \tau_1 = +12 \) N·m (پادساعتگرد)
- \( \tau_2 = -5 \) N·m (ساعتگرد)
- \( \tau_3 = +3 \) N·m (پادساعتگرد)
شتاب زاویهای چقدر است؟
حل:
گشتاور خالص: \[ \tau_{\text{net}} = 12 - 5 + 3 = 10 \text{ N·m} \]
شتاب زاویهای: \[ \alpha = \frac{\tau_{\text{net}}}{I} = \frac{10}{2} = 5 \text{ rad/s}^2 \]
گشتاور و انرژی
نیرو انرژی را تغییر میدهد؛ گشتاور توان (power) را:
\[ P = \tau \omega \]
جاییکه \( \omega \) سرعت زاویهای است.
مثال: موتوری گشتاوری τ = 100 N·m با سرعت زاویهای ω = 50 rad/s تولید میکند. توان چقدر است؟
\[ P = 100 \times 50 = 5000 \text{ W} = 5 \text{ kW} \]
گشتاور در حرکت غلتشی
در حرکت غلتشی، نیروی اصطکاک درست در تماس وارد میشود و گشتاور ایجاد میکند. این گشتاور باعث شتاب زاویهای میشود.
\[ f \cdot R = I \alpha \]
این رابطهٔ حیاتی است که حرکت انتقالی و دورانی را به هم پیوند میدهد.
چه چیزی رو باید یاد گرفته باشی
- تعریف: \( \tau = rF\sin\theta \)
- حالت عمود: \( \tau = rF \) (بیشترین)
- حالت موازی: \( \tau = 0 \) (نیروی بیاثر)
- معادلهٔ نیوتن: \( \tau_{\text{net}} = I\alpha \)
- توان: \( P = \tau\omega \)
- نیروی اصطکاک: در غلتش، گشتاور ایجاد میکند
پیشنمایش §۱۱.۳
اکنون میدانیم که گشتاور چگونه جسم را میچرخاند. سؤال بعدی: اگر یک جسم در حال چرخش است و هیچ گشتاوری وارد نشود، چی میشود؟ پاسخ: تکانهٔ زاویهای ثابت میماند. این یک قانون حفاظتی است که مثل پایستگی انرژی مهم است.
📚 همچنین ببین: Halliday Vol 1, Ch 11, §11.2 — Torque and rotational dynamics. 🔗 پیوند پیشین: §۱۰.۲ (ممان اینرسی) — اساس معادلهٔ دورانی.
سوالی دارید؟ 🤔
اگه مفهومی نامشخص بود یا سوالی داشتید، اینجا بپرسید. جوابتون در اینجا منتشر میشه.