در فیزیک، حفاظت است — انرژی حفظ میشود، تکانهٔ خطی حفظ میشود، و اکنون آموزش میگیریم که تکانهٔ زاویهای نیز حفظ میشود. این یکی از عمیقترین اصول فیزیک است.
تعریف تکانهٔ زاویهای
تکانهٔ زاویهای نسخهٔ دورانی تکانه است.
برای نقطهٔ جرمی
اگر ذرهای به جرم \( m \) با سرعت خطی \( v \) در فاصلهٔ \( r \) از محور دوران باشد:
\[ L = mvr = pr \]
جاییکه \( p = mv \) تکانهٔ خطی است.
برای جسم سخت که میچرخد
برای جسم سختی که با سرعت زاویهای \( \omega \) حول محوری میچرخد:
\[ L = I\omega \]
جاییکه:
- \( I \) = ممان اینرسی
- \( \omega \) = سرعت زاویهای
تشابه: تکانهٔ خطی \( p = mv \)؛ تکانهٔ زاویهای \( L = I\omega \). دقیقاً مثل نسبت بین نیرو و گشتاور!
رابطهٔ تکانه و گشتاور
گشتاور باعث تغییر تکانهٔ زاویهای میشود:
\[ \tau_{\text{net}} = \frac{dL}{dt} \]
این دقیقاً مثل \( F_{\text{net}} = \frac{dp}{dt} \) برای حرکت خطی است!
نتیجه: قانون بقاء
اگر هیچ گشتاور خارجی وارد نشود (\( \tau_{\text{net}} = 0 \)):
\[ \frac{dL}{dt} = 0 \implies L = \text{ثابت} \]
تکانهٔ زاویهای حفظ میشود!
مثالهای کاربردی
مثال ۱: اسکیتبازی میچرخد
اسکیتبازی با دستان باز میچرخد — ممان اینرسی بزرگ است: I₁ = 2 kg·m²، سرعت زاویهای کمی: ω₁ = 2 rad/s.
\[ L_1 = 2 \times 2 = 4 \text{ kg·m}^2\text{/s} \]
حالا دستانش را به تنه فشار میدهد — ممان اینرسی کم میشود: I₂ = 0.5 kg·m².
چون هیچ گشتاور خارجی (فقط اصطکاک داخلی) نیست:
\[ L_2 = L_1 \implies I_2 \omega_2 = 4 \]
\[ \omega_2 = \frac{4}{0.5} = 8 \text{ rad/s} \]
نتیجه: سرعت زاویهای ۴ برابر زیاد میشود! (و تکانهٔ زاویهای ثابت میماند.)
مثال ۲: سیارهها و ستارهها
یک غول ستارهای به شعاع بزرگ و سرعت کم میچرخد. وقتی یک ستارهٔ نوترونی تشکیل میشود، شعاع بسیار کم میشود:
- قبل: \( R_1 = 10^{11} \) m، \( \omega_1 = 10^{-6} \) rad/s
- بعد: \( R_2 = 10^4 \) m، \( \omega_2 = ? \)
ممان اینرسی: \( I \propto MR^2 \)
\[ \frac{I_2}{I_1} = \frac{R_2^2}{R_1^2} = \frac{(10^4)^2}{(10^{11})^2} = 10^{-14} \]
\[ \omega_2 = \omega_1 \times \frac{I_1}{I_2} = 10^{-6} \times 10^{14} = 10^8 \text{ rad/s} \]
ستارهٔ نوترونی با سرعت دیوانهکنندهای میچرخد!
مثال عددی: برخورد و چرخش
دو دیسک:
- دیسک A: \( I_A = 0.4 \) kg·m²، چرخان با \( \omega_A = 5 \) rad/s
- دیسک B: \( I_B = 0.6 \) kg·m²، ساکن (\( \omega_B = 0 \))
آنها به هم میخورند و به هم چسبند. سرعت زاویهای نهایی؟
حل: هیچ گشتاور خارجی نیست (تنها اصطکاک درون سیستم).
\[ L_{\text{initial}} = I_A \omega_A + I_B \omega_B = 0.4 \times 5 + 0 = 2 \text{ kg·m}^2\text{/s} \]
پس از برخورد: \[ L_{\text{final}} = (I_A + I_B)\omega_f = (0.4 + 0.6)\omega_f = \omega_f \]
از بقاء: \[ L_{\text{initial}} = L_{\text{final}} \]
\[ 2 = \omega_f \implies \omega_f = 2 \text{ rad/s} \]
هر دو دیسک اکنون با 2 rad/s میچرخند!
تکانهٔ زاویهای برداری است
مثل گشتاور، تکانهٔ زاویهای برداری است:
\[ \vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} \]
یا برای جسم سخت:
\[ \vec{L} = I\vec{\omega} \]
جهت \( \vec{L} \) توسط قانون دست راست تعیین میشود.
رابطهٔ با انرژی
انرژی جنبشی دورانی را میتوان برحسب تکانهٔ زاویهای بازنویسی کرد:
\[ K = \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2}I\left(\frac{L}{I}\right)^2 = \frac{L^2}{2I} \]
اگر \( I \) تغییر کند و \( L \) ثابت باشد:
- \( I \) کوچکتر میشود → \( K \) بزرگتر میشود
- اسکیتبازی: دستان را کشید → بیشتر میچرخد و انرژی جنبشی زیاد میشود!
(انرژی از کجا آمد؟ از کار انجام شده هنگام کشیدن دستان.)
چه چیزی رو باید یاد گرفته باشی
- تعریف: \( L = I\omega \) یا \( L = mvr \)
- رابطهٔ گشتاور: \( \tau_{\text{net}} = \frac{dL}{dt} \)
- بقاء: اگر \( \tau_{\text{net}} = 0 \)، آنگاه \( L = \text{ثابت} \)
- اسکیتبازی: دستان کشیدن → سرعت زاویهای زیاد
- ستارهها: کوچکتر شدن → سریعتر چرخش
پیشنمایش §۱۱.۴
اکنون تکانهٔ زاویهای را میفهمیم. اما اگر جسم در دو محور مختلف میچرخد؟ مثلاً ژیروسکوپ کجا یک حلقه میچرخد و خود میچرخد؟ پاسخ یک برداری است که میخواهد جهتش تغییر کند — و این تقدم ایجاد میکند.
📚 همچنین ببین: Halliday Vol 1, Ch 11, §11.3 — Angular momentum and its conservation. 🔗 پیوند پیشین: §۷.۸ (پایستگی تکانهٔ خطی) — اصل مشابهی برای دوران.
سوالی دارید؟ 🤔
اگه مفهومی نامشخص بود یا سوالی داشتید، اینجا بپرسید. جوابتون در اینجا منتشر میشه.