چرا فولادِ نسبتِ به لاستیک سختتر است؟ چون تحتِ همانِ تنش، لاستیک بیشتر تغیرِ شکل میدهد. این تفاوتِ خاصیتِ ماده در ضریبِ کشسانی (elastic modulus) بیان میشود.
تعریفِ کلی
ضریبِ کشسانی نسبتِ تنش به کرنش است:
\[ E = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{\sigma}{\epsilon} \]
واحد: Pa یا N/m² (یکسان با تنش).
نکتهٔ مهم: ضریبِ کشسانی خاصیتِ ماده است، نه حالتِ خاص یک جسم. یک تکه فولاد و تمام جهانِ فولاد همان ضریبِ یانگ دارند.
سه نوع ضریبِ کشسانی
1. مدول یانگ (Young's Modulus)
برای تنشِ کششی یا فشاری:
\[ Y = \frac{\sigma}{\epsilon} = \frac{F/A}{\Delta L / L_0} = \frac{F L_0}{A \Delta L} \]
واحد: Pa (معمول: GPa = 10⁹ Pa).
معنی فیزیکی: مقدار سختکاری ماده تحتِ کشش یا فشار. ضریبِ یانگِ بزرگ = ماده سخت.
مثالهای عددی:
- فولاد:
200–210 GPa(بسیار سخت) - مس:
120–130 GPa - چوب:
10–15 GPa - لاستیک:
0.1–1 GPa(بسیار نرم)
2. مدول برشی (Shear Modulus)
برای تنشِ برشی:
\[ G = \frac{\tau_s}{\gamma} = \frac{F/A}{\Delta x / L} \]
جاییکه Δx تغیرِ جابهجایی و L ارتفاع است.
معنی: سختکاری ماده تحتِ برش. کمتر از مدول یانگ است.
مثالها:
- فولاد:
80–85 GPa - مس:
40–50 GPa
3. مدول دکلیتی (Bulk Modulus)
برای فشار همهجانبه:
\[ K = -\frac{\Delta P}{\Delta V / V_0} \]
جاییکه:
ΔP= تغیرِ فشارΔV= تغیرِ حجمV₀= حجمِ اصلی
معنی: مقاومتِ ماده در برابرِ تراکم. مدول دکلیتی برای مایعات و گازها نیز تعریف میشود.
مثالها:
- فولاد:
160–170 GPa - آب:
2.2 GPa(قابلِ تراکم تر از فولاد!)
قانونِ هوک
برای تنشهای کوچک، تنش و کرنش خطی هستند:
\[ \sigma = E \epsilon \]
یا:
\[ F = k \Delta L \]
جاییکه k = EA/L₀ ثابتِ فنری است.
نکتهٔ حساس: قانونِ هوک فقط برای تنشهای کوچک برقرار است. اگر تنش خیلی بزرگ شود، رابطهٔ تنش-کرنش غیرخطی میشود.
مثالِ عددی: میلهٔ فولادی
دادهها:
- طولِ اصلی:
L₀ = 1 m - قطر:
d = 10 mm = 0.01 m - سطحِ مقطع:
A = π(d/2)² = π × (0.005)² ≈ 7.85 × 10⁻⁵ m² - نیروی کشش:
F = 10,000 N - مدول یانگِ فولاد:
Y = 200 GPa = 200 × 10⁹ Pa
محاسبه:
\[ \sigma = \frac{F}{A} = \frac{10,000}{7.85 \times 10^{-5}} ≈ 127 \times 10^6 \text{ Pa} = 127 \text{ MPa} \]
\[ \epsilon = \frac{\sigma}{Y} = \frac{127 \times 10^6}{200 \times 10^9} ≈ 6.35 \times 10^{-4} = 0.0635\% \]
\[ \Delta L = \epsilon \times L_0 = 6.35 \times 10^{-4} \times 1 = 0.635 \text{ mm} \]
نتیجه: میلهٔ فولادی تقریباً ۶/۱۰ میلیمتر کشیده میشود. بسیار کم!
انرژیِ کشسانی
وقتی جسمی تحتِ تنش تغیرِ شکل میدهد، انرژی ذخیره میشود:
\[ U = \frac{1}{2} k (\Delta L)^2 = \frac{1}{2} \frac{EA}{L_0} (\Delta L)^2 \]
یا بر حسب تنش و کرنش:
\[ u = \frac{1}{2} \sigma \epsilon = \frac{1}{2} E \epsilon^2 \]
جاییکه u انرژی چگالی است (انرژی هر واحد حجم).
محدودیتِ قانونِ هوک
قانونِ هوک (σ = Eε) فقط در ناحیهٔ کشسان برقرار است:
- ناحیهٔ کشسان: σ و ε خطی هستند؛ اگر بار برداشته شود، جسم برمیگردد
- ناحیهٔ پلاستیکی: تنش بیشتر، اما کرنش سریعتر بیشتر میشود؛ اگر بار برداشته شود، تغیرِ شکل دائمی میماند
- نقطهٔ شکست: اگر تنش خیلی زیاد باشد، ماده میشکند
مقایسهٔ مواد
| ماده | مدول یانگ | سختکاری | مرونیت |
|---|---|---|---|
| الماس | 1,200 GPa | بسیار سخت | خیلی شکنندهٔ |
| فولاد | 200 GPa | سخت | نسبتاً چسبندهٔ |
| مس | 120 GPa | متوسط | چسبندهٔ |
| چوب | 12 GPa | نرم | چسبندهٔ |
| لاستیک | 1 GPa | خیلی نرم | خیلی مرن |
نکتهٔ ویژه: مدول یانگِ بزرگ = سختتر اما نه لزوماً مرنتر. لاستیک نرم است اما بسیار مرن.
چه چیزی باید یاد گرفته باشی
- ضریبِ کشسانی: نسبتِ تنش به کرنش
E = σ/ε - سه نوع: مدول یانگ (کشش/فشار)، برشی (برش)، دکلیتی (فشار همهجانبه)
- قانونِ هوک:
σ = Eε(فقط برای تنشهای کوچک) - انرژی:
u = (1/2)Eε² - حدود: خطی → پلاستیکی → شکست
پیشنمایش §۱۲.۶
اکنون میدانیم ماده چطور تحتِ تنش رفتار میکند. اما در حالتِ اصلی (بدون بار خارجی) چه؟ جسم به شکل طبیعی تحتِ پایداری باقی میماند. بیایید ببینیم مسائلِ واقعی تعادل و کشسانی را حل کنیم.
📚 همچنین ببین: Halliday Vol 1, Ch 12, §12.5 — Elastic moduli. 🔗 پیوند پیشین: §12.4 (تنش و کرنش)، §7 (انرژی کشسانی).
سوالی دارید؟ 🤔
اگه مفهومی نامشخص بود یا سوالی داشتید، اینجا بپرسید. جوابتون در اینجا منتشر میشه.