§ ۱۳.۱ — قانون جاذبه عمومی نیوتن
اصل بنیادی
هر جسمی در جهان با هر جسم دیگری با نیرویی جاذب برهمکنش دارد که تنها به جرمهای آنها و فاصلهی بینشان بستگی دارد. این جوهر قانون جاذبه عمومی نیوتن است، یکی از الگانترین و قدرتمندترین اصول فیزیک. برخلاف اثرات گرانش توصیفشده توسط نسبیت عام (که گرانش را بهعنوان انحنای فضازمان تعامل میکند)، فرمولبندی نیوتنی برای مقیاسهای روزمره تقریب عالیای فراهم میآورد و زیربنای مکانیک کلاسیکی است.
شکل ریاضی
نیروی جاذبه بین دو جرم نقطهای \( m_1 \) و \( m_2 \) که در فاصلهی \( r \) از هم قرار دارند بهصورت زیر داده میشود:
\[ F = G\frac{m_1 m_2}{r^2} \]
که در آن \( G = 6.674 \times 10^{-11} \, \text{N·m}^2/\text{kg}^2 \) ثابت جاذبه عمومی است. این ثابت، که از طریق آزمایش تراز پیچشی کاوندیش در سال ۱۷۹۸ تعیین شد، فوقالعاده کوچک است—و نشان میدهد که چرا ما اثرات جاذبه را بین اجسام روزمره احساس نمیکنیم.
نیرو از قانون معکوس مربع پیروی میکند: دو برابر شدن فاصله نیرو را چهار برابر کاهش میدهد. نیرو همیشه جاذب است، و براساس قانون سوم نیوتن، هر دو جسم نیروهایی با بزرگی یکسان و جهتگیری در راستای خط اتصال مراکز خود را تجربه میکنند.
شکل برداری و اصل برهمنهی
برای توصیف کاملتر، نیروی جاذبه را بهعنوان بردار بیان میکنیم. اگر جسم اول نیرویی بر جسم دوم وارد کند:
\[ \vec{F}_{12} = -G\frac{m_1 m_2}{r^2}\hat{r} \]
که در آن \( \hat{r} \) بردار یکهی اشارهکننده از جرم ۱ به سوی جرم ۲ است. علامت منفی تضمین میکند که نیرو جاذب است.
هنگامیکه چندین جرم موجود است، نیروی جاذبهی خالص بر هر جسم مجموع برداری نیروهای ناشی از تمام اجسام دیگر است (اصل برهمنهی). این امر به ما امکان میدهد تا سیستمهای پیچیده را بررسی کنیم: سیارههای در حال گردش به دور ستاره، کهکشانها در یک خوشه، یا یک جرم آزمایشی کوچک در میدان یک جسم بزرگ.
مسئلهی موازی: ترتیب سهجسمی
سه کره یکسان را در نظر بگیرید، هرکدام با جرم \( M = 2.0 \times 10^6 \, \text{kg} \)، که در رئوس یک مثلث متساویالاضلاع با طول ضلع \( a = 500 \, \text{m} \) قرار دارند. نیروی جاذبهی خالص بر یکی از کرهها ناشی از دو کرهی دیگر را بیابید.
حل:
نیروی جاذبه از هرکدام از دو کرهی دیگر دارای بزرگی زیر است:
\[ F_1 = G\frac{M^2}{a^2} = (6.674 \times 10^{-11})\frac{(2.0 \times 10^6)^2}{(500)^2} \]
\[ F_1 = (6.674 \times 10^{-11})\frac{4.0 \times 10^{12}}{2.5 \times 10^5} = 1.07 \times 10^{-3} \, \text{N} \]
از آنجایی که مثلث متساویالاضلاع است، دو بردار نیرو در نقطه نظر کرهی مورد نظر با زاویهی ۶۰ درجه نسبت به یکدیگر قرار دارند. با تنظیم دستگاه مختصاتی که یک نیرو در امتداد محور مثبت x قرار دارد:
- نیرو از کره ۱: \( \vec{F}_1 = 1.07 \times 10^{-3} \hat{x} \, \text{N} \)
- نیرو از کره ۲: \( \vec{F}_2 = (1.07 \times 10^{-3})\cos(60°)\hat{x} + (1.07 \times 10^{-3})\sin(60°)\hat{y} \)
\[ \vec{F}_2 = 0.535 \times 10^{-3}\hat{x} + 0.927 \times 10^{-3}\hat{y} \, \text{N} \]
نیروی خالص دارای مؤلفههای:
\[ F_x = 1.07 \times 10^{-3} + 0.535 \times 10^{-3} = 1.605 \times 10^{-3} \, \text{N} \]
\[ F_y = 0.927 \times 10^{-3} \, \text{N} \]
\[ F_{\text{net}} = \sqrt{F_x^2 + F_y^2} = \sqrt{(1.605)^2 + (0.927)^2} \times 10^{-3} = 1.85 \times 10^{-3} \, \text{N} \]
نیروی خالص در زاویهای \( \theta = \tan^{-1}(0.927/1.605) = 30° \) نسبت به خط اتصال کرهی مورد نظر به یکی از کرههای دیگر اشاره میکند.
کاربردهای دنیای واقعی
قانون نیوتن حرکت مداری سیارهها به دور خورشید، مدار ماه به دور زمین، و دینامیک سیستمهای ستارهای دوتایی را توضیح میدهد. ماهوارهها برای مکانیک مداری خود بر این اصل تکیه میکنند. در اخترفیزیک، عدسیهای گرانشی—جایی که اجسام پرجرم نور را اطراف خود خم میکنند—توسط نسبیت عام توضیح داده میشوند اما تقریبی با مفاهیم نیوتنی محاسبه میشوند.
درک این قانون همچنین به ما کمک میکند تا برخورد سیارکها را پیشبینی کنیم، مأموریتهای فضایی را طراحی کنیم، و ساختار بزرگمقیاس جهان را درک کنیم.
سوالی دارید؟ 🤔
اگه مفهومی نامشخص بود یا سوالی داشتید، اینجا بپرسید. جوابتون در اینجا منتشر میشه.