وقتی مایع ساکن ـه (یا با سرعت ثابت حرکت میکنه، که شتاب صفر)، نیروها متعادل و مایع در تعادل ایستایی ـه. در این حالت، فشار فقط با عمق تغییر میکنه، نه با موقعیت افقی یا شکل ظرف. این اصل بنیاد هیدروستاتیک ـه.
فشار بهعنوان تابعی از عمق
یه سیلندر کوچک مایع را در نظر بگیر که در جسمی بزرگتر در عمق \( z \) زیر سطح فرو رفته. سیلندر سطح مقطع \( A \) و ارتفاع \( dz \) داره. جرم این عنصر \( dm = \rho A \, dz \) ـه، جایی که \( \rho \) چگالی مایع.
نیروهای روی عنصر:
- بهبالا: نیروی فشار از پایین = \( P(z) \cdot A \)
- بهپایین: نیروی فشار از بالا = \( P(z+dz) \cdot A \)، بعلاوه وزن \( = dW = dm \cdot g = \rho A g \, dz \)
برای تعادل: \[ P(z) \cdot A = P(z+dz) \cdot A + \rho A g \, dz \]
تنظیم مجدد: \[ P(z) - P(z+dz) = \rho g \, dz \]
یا: \[ \frac{dP}{dz} = -\rho g \]
(منفی چون فشار کاهش مییابه با بالا رفتن.)
انتگرالگیری از سطح (که \( P = P_0 \) در \( z = 0 \)) تا عمق \( h \) زیر سطح: \[ P(h) = P_0 + \rho g h \]
این فرمول فشار هیدروستاتیک ـه: فشار خطیگرا با عمق افزایش مییابه.
فشار در اعماق مختلف
برای آب (\( \rho \approx 1000 \) kg/m³، \( g = 9.8 \) m/s²):
- سطح (۰ متر): \( P_0 = 101,325 \) Pa (اتمسفری)
- عمق ۱۰ متر: \( P = 101,325 + 1000 \times 9.8 \times 10 = 199,325 \) Pa \( \approx 2 \) atm
- عمق ۱۰۰ متر (غوطهوری عمیق): \( P = 101,325 + 1000 \times 9.8 \times 100 = 1,080,325 \) Pa \( \approx 10.7 \) atm
فشار تقریباً هر ۱۰ متر عمق آبی دو برابر میشه.
مثال محاسبهای: فشار آب در سد
سدی از بتن کنکریتی مخزنی از آب شیرین رو نگه میداره. سطح آب در ارتفاع \( h = 50 \) متری بالای پایهی سد. فشار روی دیوار سد در پایه چقدره؟
دادهها:
- عمق: \( h = 50 \) m
- چگالی آب: \( \rho = 1000 \) kg/m³
- فشار اتمسفری: \( P_0 = 101,325 \) Pa
- \( g = 9.8 \) m/s²
راهحل: \[ P_{\text{پایه}} = P_0 + \rho g h \] \[ P_{\text{پایه}} = 101,325 + (1000)(9.8)(50) \] \[ P_{\text{پایه}} = 101,325 + 490,000 = 591,325 \text{ Pa} \approx 5.8 \text{ atm} \]
فشار گیج (نسبت به اتمسفر) در پایه \( \rho g h = 490 \) کیلوپاسکال ـه. این فشار عظیم میگویه که سد باید ضخیم و استحکام داشته تا این نیرو رو تحمل کنه. برای بخشی از سد با عرض ۱۰۰ متر، کل نیروی روی ارتفاع ۵۰ متری:
\[ F = \int_0^{50} P(h) \times 100 \, dh = \int_0^{50} (101,325 + 1000 \times 9.8 \times h) \times 100 \, dh \]
نیرو فقط \( P_{\text{میانگین}} \times A \) نیست چون فشار با عمق تغییر میکنه، بلکه \( \rho g \times (\text{حجم آب}) \) روی ارتفاع توزیعشده.
اصل پاسکال
در مایع ساکن، تغییر فشار در هر نقطه یکنواخت به تمام مایع منتقل میشه. اگه فشار روی پیستون در سیستم هیدرولیکی بسته افزایش دی، همون افزایش فشار فوریاً همهجا در مایع متصل ظاهر میشه. این اصل تقویت نیروی هیدرولیکی رو ممکن میکنه: نیروی کوچیک روی پیستون کوچیک میتونه وزن بزرگی روی پیستون بزرگ بلند کنه.
فشار در گازها vs مایعات
برای گازها، \( \rho \) خیلی کوچیکتره (هوا: \( \rho \approx 1.2 \) kg/m³). تغییر فشار با ارتفاع بنابراین آرامتره:
\[ P(h) = P_0 \exp\left(-\frac{\rho g h}{P_0}\right) \] (نمایی، نه خطی)
این دلیل اینه که فشار اتمسفری با ارتفاع خیلی تدریجیتر کاهش مییابه تا فشار آب با عمق. در ارتفاع ۱۰ کیلومتری، فشار اتمسفری تقریباً ۰.۲۵ atm؛ در عمق ۱۰ متری آب، ۲ atm ـه.
تداوم فشار در مرزها
در مرز دو مایع (مثل روغن روی آب)، فشار باید پیوسته باشه. اگه رابط روغن-آب تراز باشه، هر دو مایع در آن نقطه فشار برابری حس میکنن. اما تغییر فشار با عمق زیر رابط برای هر مایع متفاوت ـه، بستگی به \( \rho_{\text{روغن}} \) vs \( \rho_{\text{آب}} \).
چه چیزی رو باید یاد گرفته باشی
- نتیجهگیری فرمول فشار هیدروستاتیک \( P = P_0 + \rho g h \)
- محاسبهی فشار در هر عمق
- استفاده از اصل پاسکال در سیستمهای هیدرولیکی
- درک اینکه چرا تغییر فشار با عمق برای مایعات خطی ولی برای گازها نمایی ـه
- برآورد اندازههای فشار در اعماق عملی (اقیانوس، سد، اتمسفر)
پیشنمایش §۱۴.۳
اصل ارشمیدس: جسمی که در مایع غوطهور ـه، نیروی شناوری بهبالا حس میکنه برابر وزن مایع جابهجاییشده.
📚 همچنین ببین: Halliday Vol 2, Ch 14, §14.2.
سوالی دارید؟ 🤔
اگه مفهومی نامشخص بود یا سوالی داشتید، اینجا بپرسید. جوابتون در اینجا منتشر میشه.