اگر شما یک راکت را در نقطهٔ درست فشار دهید، میل نمیخورد. اگر در نقطهٔ غلط فشار دهید، میچرخد. چه چیز این تفاوت را ایجاد میکند؟ مرکز جرم.
تعریف مرکز جرم
برای سیستمی از ذرات (یا جسمِ پیوسته)، مرکز جرم نقطهٔ خاصی است که انگار تمام جرمِ سیستم در آنجا متمرکز است.
برای ذرات گسسته
اگر \( n \) ذرهٔ با جرمهای \( m_1, m_2, \ldots, m_n \) در موقعیتهای \( \vec r_1, \vec r_2, \ldots, \vec r_n \) باشند:
\[ \vec r_{cm} = \frac{m_1 \vec r_1 + m_2 \vec r_2 + \cdots + m_n \vec r_n}{m_1 + m_2 + \cdots + m_n} \]
یا به اختصار:
\[ \vec r_{cm} = \frac{\sum_i m_i \vec r_i}{\sum_i m_i} = \frac{\sum_i m_i \vec r_i}{M} \]
جاییکه \( M = \sum_i m_i \) جرمِ کل است.
برای اجسامِ پیوسته
برای یک جسمِ پیوسته:
\[ \vec r_{cm} = \frac{\int \vec r \, dm}{M} \]
مثال ساده: دو جرم
دو جرم روی محورِ x: \( m_1 = 2 \) کیلوگرم در \( x_1 = 0 \) و \( m_2 = 3 \) کیلوگرم در \( x_2 = 4 \) متر.
\[ x_{cm} = \frac{2 \times 0 + 3 \times 4}{2 + 3} = \frac{12}{5} = 2.4 \text{ متر} \]
مرکز جرم در نقطهٔ 2.4 متر است (نزدیکتر به جرمِ بزرگتر).
مرکز ثقل
مرکز ثقل نقطهٔ اعمالِ نیروی گرانش است.
برای یک جسمِ در میدانِ گرانشیِ یکنواخت:
\[ \vec r_{cg} = \frac{\sum_i m_i g \vec r_i}{\sum_i m_i g} = \frac{\sum_i m_i \vec r_i}{\sum_i m_i} = \vec r_{cm} \]
بنابراین: در میدانِ گرانشیِ یکنواخت، مرکز ثقل = مرکز جرم.
نکتهٔ ریاضیاتی: اگر \( g \) ثابت باشد (معمول)، مرکز ثقل و مرکز جرم یکساناند.
سه نوع تعادل
اگر یک جسم را از نقطهٔ مختلف آویزان کنید، چه اتفاقی میافتد؟
1. تعادلِ پایدار (Stable)
جسم را از نقطهٔ بالای مرکز جرم آویزان کنید.
- اگر جسم کمی بچرخد، گشتاورِ گرانش آن را برمیگرداند
- جسم نوسان میکند و برمیگردد
مثال: یک پاندول ساده
2. تعادلِ ناپایدار (Unstable)
جسم را از نقطهٔ زیرین مرکز جرم (مثلاً اگر میشد!) آویزان کنید.
- اگر جسم کمی بچرخد، گشتاورِ گرانش آن را برعکس میکند
- جسم میریزد
مثال: یک پاسخ در بالای سر نوک دار
3. تعادلِ بیتفاوت (Neutral)
جسم را از خود مرکز جرم آویزان کنید (اگر میشد).
- هیچ گشتاور نیست
- جسم در هر موقعیتی تعادل دارد
مثال: کرهٔ همگنی در ظرفی آب
پایداری اجسام معمول
برای یک جسم بر روی سطح:
- جسم پایدار است اگر اگر مرکز جرم درون قاعدهٔ حمایتی (پایه) باشد
- جسم ناپایدار میشود اگر مرکز جرم بیرون قاعده برود
مثال: استوانهٔ شیبدار
استوانهٔ یکنواخت روی سطح با شیب.
- مرکز جرم در نیمهٔ ارتفاع است
- تا وقتی خط عمودی از مرکز جرم درون قاعدهٔ استوانه باشد، استوانه تعادل دارد
- اگر استوانه خیلی شیبدار شود، خط عمودی از قاعده خارج میشود؛ استوانه میغلتد
محاسبهٔ مرکز جرم برای اشکال هندسی
برای اشکالِ ساده (متقارن)، مرکز جرم در مرکزِ هندسی است.
| شکل | مرکز جرم |
|---|---|
| میلهٔ یکنواخت | وسط میله |
| دیسک/کره یکنواخت | مرکز شکل |
| مثلث | تقاطعِ میانهها (۱/۳ از قاعده) |
| نیمکره جامد | \( \frac{3R}{8} \) از قاعده |
نقش مرکز جرم در تعادل
برای یک جسمِ صلب
اگر تمام نیروهای خارجی از یک محورِ واحد عبور کنند که مرکز جرم است:
- شرط اول: \( \sum \vec F = 0 \) ✓
- شرط دوم: \( \sum \vec \tau_{cm} = 0 \) ✓ (چون تمام نیروها از محور میگذرند)
در حالتِ کلی
برای موجود بودن تعادل، شرط اول (نیروها) و شرط دوم (گشتاورها) باید هر دو برقرار باشند. مرکز جرم نقطهٔ طبیعیِ برای محاسبهٔ گشتاورها در تعادل است.
چه چیزی باید یاد گرفته باشی
- مرکز جرم نقطهٔ متمرکزسازیِ جرم: \( \vec r_{cm} = \frac{\sum m_i \vec r_i}{M} \)
- در میدانِ گرانشیِ یکنواخت: مرکز ثقل = مرکز جرم
- سه نوع تعادل: پایدار (بالا)، ناپایدار (پایین)، بیتفاوت (خود)
- اشیاء به جای روی اگر مرکز جرم درون قاعدهٔ حمایتی باشد
پیشنمایش §۱۲.۳
اکنون میدانیم که مرکز جرم کجاست. حال بیایید ببینیم کیف برای اجسام صلب در تعادل از این استفاده کنیم — نیروهایی در نقاط متفاوت، گشتاورهای مختلف.
📚 همچنین ببین: Halliday Vol 1, Ch 12, §12.2 — Center of mass and gravity. 🔗 پیوند پیشین: §8 (مرکز جرم در حرکت)، §12.1 (شرایط تعادل).
سوالی دارید؟ 🤔
اگه مفهومی نامشخص بود یا سوالی داشتید، اینجا بپرسید. جوابتون در اینجا منتشر میشه.