§ ۱۳.۲ — انرژی پتانسیل گرانشی

انرژی در میدان گرانشی

انرژی پتانسیل گرانشی انرژی ذخیره‌شده در موقعیت‌های نسبی جرم‌ها در میدان گرانشی است. برخلاف فرمول ساده‌ی \( mgh \) که در نزدیکی سطح زمین استفاده می‌شود و میدان گرانشی یکنواختی را فرض می‌کند، ما هنگام برخورد با میدان‌های گرانشی متغیر در فواصل بزرگ به عبارت کلی‌تری نیاز داریم.

انرژی پتانسیل گرانشی سیستم دو جرم نقطه‌ای اندازه‌گیری از کاری است که باید برای آوردن آنها از جدایی بی‌نهایت به جدایی فعلی‌شان انجام شود (یا معادل‌طور، کاری که نیروی جاذبه می‌تواند انجام دهد تا جرم‌ها به بی‌نهایت دور شوند).

عبارت عمومی برای انرژی پتانسیل گرانشی

برای دو جرم \( m_1 \) و \( m_2 \) که در فاصله‌ی \( r \) از هم جدا هستند، انرژی پتانسیل گرانشی:

\[ U(r) = -G\frac{m_1 m_2}{r} \]

علامت منفی نشان می‌دهد که نیروی جاذبه جاذب است—انرژی پتانسیل زمانی که جرم‌ها نزدیک‌تر باشند بیشترین منفی‌بودن (پایین‌ترین مقدار) را دارد. در جدایی بی‌نهایت (\( r \to \infty \))، انرژی پتانسیل به سوی صفر میل می‌کند، که ما آن را به‌عنوان نقطه‌ی مرجع در نظر می‌گیریم.

این تضاد با تقریب نزدیک‌سطح دارد که در آن \( U = mgh \) با \( h \) اندازه‌گیری‌شده به بالا از یک نقطه‌ی مرجع دلخواه است. شکل دقیق \( U(r) = -G\frac{m_1 m_2}{r} \) بدون توجه به مقیاس معتبر است.

پایستگی انرژی مکانیکی

برای نیروهای محافظه‌کار (از جمله گرانش)، انرژی مکانیکی پایسته است:

\[ E = K + U = \frac{1}{2}mv^2 - G\frac{Mm}{r} = \text{ثابت} \]

که در آن \( M \) جسم مرکزی است (مثلاً زمین یا خورشید) و \( m \) جرم آزمایشی است. این رابطه، با ترکیب دینامیک مداری، تعیین می‌کند که آیا جسمی به جسم پرجرم متصل می‌ماند یا از آن فرار می‌کند.

انرژی پتانسیل در میدان گرانشی

یک مفهوم مرتبط، پتانسیل گرانشی \( \Phi(r) \) است، که به‌عنوان انرژی پتانسیل به ازای واحد جرم تعریف می‌شود:

\[ \Phi(r) = -G\frac{M}{r} \]

این کمیت مستقل از جرم آزمایشی است و نمایندگی از خاصیتی ذاتی میدان گرانشی دارد. هنگام تحلیل اینکه چگونه چندین جرم به میدان کمک می‌کنند مفید است، زیرا پتانسیل‌ها برهم‌نهی می‌شوند (برخلاف نیروهای برداری که نیاز به جمع‌بندی مؤلفه‌ای دارند).

مسئله‌ی موازی: آزاد کردن ماهواره

ماهواره‌ای با جرم \( m = 2500 \, \text{kg} \) در ارتفاع \( h = 400 \, \text{km} \) به دور زمین می‌گردد. به آن ضربه‌ای وارد می‌شود که سرعت آن را در جهت حرکت مداری به اندازه‌ی \( \Delta v = 50 \, \text{m/s} \) افزایش می‌دهد. مشخص کنید آیا این ضربه امکان فرار از میدان جاذبه‌ی زمین را فراهم می‌کند، و سرعت نهایی در بی‌نهایت را محاسبه کنید (اگر فرار رخ دهد).

داده‌ها:

• جرم زمین: \( M_E = 5.972 \times 10^{24} \, \text{kg} \)
• شعاع زمین: \( R_E = 6.371 \times 10^6 \, \text{m} \)
• ثابت جاذبه: \( G = 6.674 \times 10^{-11} \, \text{N·m}^2/\text{kg}^2 \)

حل:

ابتدا سرعت مداری در ارتفاع \( h = 400 \, \text{km} \) را بیابید:

\[ r = R_E + h = 6.371 \times 10^6 + 0.4 \times 10^6 = 6.771 \times 10^6 \, \text{m} \]

\[ v_{\text{orbit}} = \sqrt{\frac{GM_E}{r}} = \sqrt{\frac{(6.674 \times 10^{-11})(5.972 \times 10^{24})}{6.771 \times 10^6}} \]

\[ v_{\text{orbit}} = \sqrt{5.89 \times 10^7} = 7670 \, \text{m/s} \]

پس از ضربه، سرعت ماهواره:

\[ v = v_{\text{orbit}} + \Delta v = 7670 + 50 = 7720 \, \text{m/s} \]

سرعت فرار در این ارتفاع:

\[ v_{\text{esc}} = \sqrt{\frac{2GM_E}{r}} = \sqrt{2} \times v_{\text{orbit}} = 1.414 \times 7670 = 10,850 \, \text{m/s} \]

از آنجایی که \( v = 7720 \, \text{m/s} < v_{\text{esc}} = 10,850 \, \text{m/s} \)، ماهواره سرعت فرار را بدست نمی‌آورد و به زمین متصل باقی می‌ماند.

برای یافتن اپوجی (نقطه‌ی بالاترین) مدار بیضوی جدید، پایستگی انرژی را اعمال کنید:

\[ \frac{1}{2}mv^2 - G\frac{M_E m}{r} = \frac{1}{2}mv_a^2 - G\frac{M_E m}{r_a} \]

که در آن \( v_a \) سرعت در اپوجی و \( r_a \) فاصله‌ی اپوجی است. علاوه بر این، تکانه‌ی زاویه‌ای در نقطه‌ی ضربه (نزدیک‌ترین فاصله) پایسته است:

\[ mvr = mv_a r_a \]

\[ v_a = \frac{vr}{r_a} \]

با جایگزینی در معادله‌ی انرژی و حل آن:

\[ \frac{1}{2}v^2 - G\frac{M_E}{r} = \frac{1}{2}\frac{v^2r^2}{r_a^2} - G\frac{M_E}{r_a} \]

\[ v^2\left(1 - \frac{r^2}{r_a^2}\right) = 2GM_E\left(\frac{1}{r} - \frac{1}{r_a}\right) \]

حل عددی \( r_a \approx 7.6 \times 10^6 \, \text{m} \) (ارتفاع \( \approx 1230 \, \text{km} \)) را می‌دهد، نمایندگی از مدار بیضوی بالاتر.

مؤثرات دنیای واقعی

درک انرژی پتانسیل گرانشی برای برنامه‌ریزی مأموریت در پروازهای فضایی حیاتی است. هزینه‌ی انرژی انتقال‌های مداری (انتقال هوهمن)، مسیرهای فرار، و پایداری ماهواره‌ها را تعیین می‌کند. در اخترفیزیک، این مفهوم توضیح می‌دهد که چرا ستاره‌های نوترونی و سیاه‌چاله‌ها دارای خصوصیات چنان افراطی هستند—جرم‌های عظیم آنها که در حجم کوچکی فشرده‌شده‌اند چاه‌هایی از انرژی پتانسیل بسیار عمیق ایجاد می‌کنند.

⇧ بازگشت به فهرست فصل