Chapter 13 — Section

§ ۱۳.۶ — ماهواره‌ها و مکانیک مداری

انواع مدارهای ماهواره‌ای

ماهواره‌ها بسته به پارامترهای مداری خود، انواع مختلفی از مدارها را دنبال می‌کنند. رایج‌ترین طبقه‌بندی‌ها براساس ارتفاع مداری، تمایل و خروج از مرکز است.

مدار زمین پایین (LEO): ارتفاع‌های ۱۶۰–۲۰۰۰ کیلومتر. اینجاست جایی که اکثر ماهواره‌های علمی، ایستگاه فضایی بین‌المللی، و ماهواره‌های شناسایی عمل می‌کنند. دوره‌های مداری از ۹۰ دقیقه تا ۲ ساعت تغییر می‌کنند. دوره‌ی مداری کوتاه بدان معنی است که این ماهواره‌ها باید سرعت بالایی (حدود ۷.۸ کیلومتر بر ثانیه) برای مقابله با جاذبه‌ی زمین حفظ کنند.

مدار ثابت زمین (GEO): ارتفاع تقریباً ۳۵٬۷۸۶ کیلومتر. ماهواره‌های در این مدار دارای دوره‌ی مداری دقیقاً ۲۴ ساعت هستند، که با چرخش زمین مطابقت دارد. این بدان معنی است که آنها بر روی همان نقطه‌ای از استوا ثابت می‌مانند، که آنها را برای نظارت هواشناسی و ارتباطات ایده‌آل می‌کند. سرعت مداری آنها تنها حدود ۳.۱ کیلومتر بر ثانیه است، بسیار کند‌تر از ماهواره‌های LEO.

مدارهای قطبی: تمایل نزدیک ۹۰ درجه نسبت به استوا. این ماهواره‌ها از دو قطب عبور می‌کنند، که امکان پوشش کامل سطح زمین را فراهم می‌کند تا سیاره زیر آنها بچرخد.

مدارهای بیضوی: برای مأموریت‌های خاص مفید هستند. به‌عنوان مثال، مدارهای Molniya دارای تمایل بالا و خروج از مرکز بالایی هستند، که ماهواره‌ها را بر عرض‌های جغرافیایی بالای شمالی برای دوره‌های طولانی قرار می‌دهند.

مدارهای انتقال هوهمن

انتقال هوهمن کارآمدترین روش برای حرکت ماهواره از یک مدار دایره‌ای به مدار دایره‌ای دیگری یکپارچه است. دو سوختن موتوری را استفاده می‌کند: یکی در مدار اولیه برای تقویت به مدار انتقالی بیضوی، و دیگری در مدار نهایی برای دایره‌سازی.

برای انتقالی از شعاع مداری \( r_1 \) به \( r_2 \) (که \( r_2 > r_1 \)):

نیم‌محور بزرگ بیضی انتقالی: \( a_t = \frac{r_1 + r_2}{2} \)

سرعت لازم در پریاپسیس (در \( r_1 \)): \[ v_1' = \sqrt{GM\left(\frac{2}{r_1} - \frac{1}{a_t}\right)} \]

سرعت لازم در آپوپسیس (در \( r_2 \)): \[ v_2' = \sqrt{GM\left(\frac{2}{r_2} - \frac{1}{a_t}\right)} \]

افزایش سرعت لازم: \[ \Delta v_1 = v_1' - v_1 = v_1' - \sqrt{\frac{GM}{r_1}} \]

\[ \Delta v_2 = v_2 - v_2' = \sqrt{\frac{GM}{r_2}} - v_2' \]

هزینه‌ی انرژی کل انتقال مجموع این افزایش‌ها است.

کمک گرانشی و مانورهای Swing-by

هنگامی‌که فضاپیمایی از نزدیکی جسم بزرگ‌جرم (سیاره یا ماه) عبور می‌کند، می‌تواند انرژی را کسب یا از دست دهد، به نام کمک گرانشی. در دستگاه مرجع جسم بزرگ‌جرم، سرعت فضاپیما جهت تغییر می‌دهد اما بزرگی را حفظ می‌کند (پراکندگی الاستیک). با این حال، در دستگاه مرجع خورشید، فضاپیما انرژی قابل‌توجهی می‌گیرد اگر بر حرکت مداری سیاره عقب‌گرد شود.

این تکنیک، که در مأموریت‌های سیاره‌های بیرونی استفاده می‌شود (Voyager, Galileo, Cassini)، به فضاپیمایی امکان می‌دهد تا به مقصدهای دورتر با حداقل مصرف سوخت برسند. انرژی از حرکت مداری جسم بزرگ‌جرم به دور خورشید می‌آید، که از طریق تعامل پراکندگی حفظ می‌شود.

مسئله‌ی موازی: ماموریت نجات ماهواره

فضاپیمای تامین‌کننده بدون‌سرنشین در مدار دایره‌ای در ارتفاع \( h_1 = 350 \, \text{km} \) بالای زمین است. ماهواره‌ی آسیب‌دیده در مدار دایره‌ای در ارتفاع \( h_2 = 500 \, \text{km} \) به تعمیرات اضطراری نیاز دارد. مدار انتقالی هوهمن را برای کاهش مصرف سوخت طراحی کنید و بیابید: (۱) نیم‌محور بزرگ مدار انتقالی (۲) افزایش سرعت لازم در هر سوختن (۳) زمان انتقال (۴) نسبت جرم بار‌اندازی اگر فضاپیما دارای ضربه‌ی خاص \( I_{sp} = 450 \, \text{s} \) است

داده‌ها:

حل:

شعاع‌های مداری اولیه: \[ r_1 = R_E + h_1 = 6.371 \times 10^6 + 350 \times 10^3 = 6.721 \times 10^6 \, \text{m} \]

\[ r_2 = R_E + h_2 = 6.371 \times 10^6 + 500 \times 10^3 = 6.871 \times 10^6 \, \text{m} \]

سرعت‌های مداری دایره‌ای اولیه: \[ v_1 = \sqrt{\frac{GM_E}{r_1}} = \sqrt{\frac{(6.674 \times 10^{-11})(5.972 \times 10^{24})}{6.721 \times 10^6}} = 7,690 \, \text{m/s} \]

\[ v_2 = \sqrt{\frac{GM_E}{r_2}} = \sqrt{\frac{(6.674 \times 10^{-11})(5.972 \times 10^{24})}{6.871 \times 10^6}} = 7,590 \, \text{m/s} \]

نیم‌محور بزرگ بیضی انتقالی: \[ a_t = \frac{r_1 + r_2}{2} = \frac{6.721 \times 10^6 + 6.871 \times 10^6}{2} = 6.796 \times 10^6 \, \text{m} \]

سرعت‌های در مدار انتقالی: \[ v_1' = \sqrt{GM_E\left(\frac{2}{r_1} - \frac{1}{a_t}\right)} = \sqrt{(6.674 \times 10^{-11})(5.972 \times 10^{24})\left(\frac{2}{6.721 \times 10^6} - \frac{1}{6.796 \times 10^6}\right)} \]

\[ v_1' = \sqrt{3.986 \times 10^{14}(2.976 \times 10^{-7} - 1.471 \times 10^{-7})} = \sqrt{5.606 \times 10^7} = 7,487 \, \text{m/s} \]

\[ v_2' = \sqrt{GM_E\left(\frac{2}{r_2} - \frac{1}{a_t}\right)} = \sqrt{(6.674 \times 10^{-11})(5.972 \times 10^{24})\left(\frac{2}{6.871 \times 10^6} - \frac{1}{6.796 \times 10^6}\right)} \]

\[ v_2' = \sqrt{3.986 \times 10^{14}(2.915 \times 10^{-7} - 1.471 \times 10^{-7})} = \sqrt{5.410 \times 10^7} = 7,356 \, \text{m/s} \]

افزایش سرعت: \[ \Delta v_1 = v_1' - v_1 = 7,740 - 7,690 = 50 \, \text{m/s} \] (سوختن تسریعی)

\[ \Delta v_2 = v_2 - v_2' = 7,590 - 7,356 = 234 \, \text{m/s} \] (سوختن سرکوب)

کل \( \Delta v = 50 + 234 = 284 \, \text{m/s} \)

زمان انتقال (نیمی از دوره‌ی بیضی انتقالی): \[ T_t = \pi\sqrt{\frac{a_t^3}{GM_E}} = \pi\sqrt{\frac{(6.796 \times 10^6)^3}{3.986 \times 10^{14}}} = \pi\sqrt{5.59 \times 10^7} = \pi(7,477) = 23,500 \, \text{s} \approx 6.5 \, \text{ساعت} \]

رابطه‌ی ضربه‌ی خاص: \( \Delta v = I_{sp} \cdot g_0 \cdot \ln\left(\frac{M_0}{M_f}\right) \)

\[ 284 = 450 \times 9.81 \times \ln\left(\frac{M_0}{M_f}\right) \]

\[ \ln\left(\frac{M_0}{M_f}\right) = \frac{284}{4,415} = 0.0643 \]

\[ \frac{M_0}{M_f} = e^{0.0643} = 1.066 \]

این بدان معنی است که ۶.۶% از جرم اولیه سوخت مصرف‌شده در این انتقال است.

فروپاشی مداری و خارج کردن از مدار

ماهواره‌های مدار زمین پایین تدریجاً ارتفاع را از دست می‌دهند به دلیل کشش جو. برای ماهواره‌های در ارتفاع‌های زیر ۶۰۰ کیلومتر، این فروپاشی قابل‌توجه است و باید با مانورهای افزایش دوره‌ای جبران شود، یا ماهواره سرانجام به جو بازخواهد کشیده شد و احتراق خواهد یافت.

خارج کردن از مدار کنترل‌شده (پایین آوردن مدار ماهواره برای اطمینان از اینکه در جو احتراق می‌یابد تا بدل این‌که ماند فضایی شود) برای عملیات فضایی مسؤول‌انه ضروری شده است.

کاربردهای دنیای واقعی

درک مکانیک مداری برای موارد زیر حیاتی است:

⇧ بازگشت به فهرست فصل

سوالی دارید؟ 🤔

اگه مفهومی نامشخص بود یا سوالی داشتید، اینجا بپرسید. جوابتون در اینجا منتشر می‌شه.