مسائل حل‌شده — ابزارهای فصل ۱ در عمل

توی §1.6–§1.9 چهار ابزار به‌ت دادیم: نوتیشن علمی، تحلیل ابعادی، رقم‌های بامعنا، و factor-label. اینجا ۶ مسئله‌ی حل‌شده می‌بینی که هر کدوم چند تا از این ابزارها رو کنار هم به کار می‌بره. هدف: بعد از این بخش، وقتی به مسئله‌ی جدیدی می‌رسی، بدونی از کجا شروع کنی — ابزار مناسب رو انتخاب کنی، رعایت sig fig رو نگه داری، و در پایان با یه بررسی ابعادی مطمئن بشی که جواب معنی داره.

هیچ‌کدوم از این مسائل از هالیدی نیستن. scenario‌ها ابتکاری‌اند تا بتونی روشِ حل رو ببینی، نه این‌که جواب رو حفظ کنی.

قالب حل

برای هر مسئله این ۵ گام رو دنبال می‌کنیم:

  1. صورت + داده‌ها — چی داده‌شده و با چند رقم بامعنا؟
  2. ابزار — کدوم §1.x نقشه‌ی راهه؟
  3. راه‌حل — گام‌های محاسبه با یکاها در متغیرها
  4. بررسی ابعادی — یکای جواب درسته؟
  5. رقم بامعنا — چند رقم نگه می‌داریم و چرا؟

مسئله ۱: فشار در گودال ماریانا

صورت: غواص علمی به عمق 10.9 km گودال ماریانا (پایین‌ترین نقطه‌ی اقیانوس شناخته‌شده) می‌رسه. فشار مطلق روی بدنش چقدره؟ نتیجه رو هم به Pa هم به atm بده.

داده‌ها:

ابزار: §1.7 (بررسی ابعادی فرمول)، §1.9 (تبدیل km → m و Pa → atm)، §1.8 (رقم بامعنا)

راه‌حل:

فرمول فشار ستون سیال:

\[ P = \rho\,g\,h \]

قبل از این‌که عدد بذاریم، بررسی ابعادی کنیم:

\[ [\rho\,g\,h] = \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3} \cdot \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \cdot \mathrm{m} = \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^2} = \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}^2} = \mathrm{Pa}\quad ✓ \]

خوبه. حالا h رو به SI ببریم:

\[ h = 10.9\ \mathrm{km}\ \times\ \frac{1000\,\mathrm{m}}{1\,\mathrm{km}} = 1.09 \times 10^4\ \mathrm{m} \]

عدد بذاریم:

\[ P = (1025)\,(9.81)\,(1.09\times 10^4) = 1.10\times 10^{8}\ \mathrm{Pa} \]

تبدیل به atm:

\[ P = 1.10 \times 10^{8}\ \mathrm{Pa}\ \times\ \frac{1\,\mathrm{atm}}{101{,}325\,\mathrm{Pa}} = 1.08 \times 10^3\ \mathrm{atm} \]

رقم بامعنا: ورودی‌های ما بین 3 تا 4 sig fig دارن. طبق قاعده‌ی ضرب (§1.8)، جواب رو با کمترین یعنی 3 sig fig گزارش می‌کنیم.

پاسخ:

\[ \boxed{P \approx 1.10 \times 10^{8}\ \mathrm{Pa} \approx 1.08 \times 10^3\ \mathrm{atm}} \]

یعنی حدود ۱۰۸۰ برابر فشار جو در سطح دریا. برای شهود: یه انگشت انسان حدود 1 cm^2 سطح داره؛ در این عمق، نیرویی حدود 10,800 N (وزن یه ماشین کوچک) روی هر انگشتت وارده. برای همین غواصی به این عمق فقط با سابمرین‌های تخصصی مثل Trieste یا Deepsea Challenger ممکنه.

مسئله ۲: فاصله تا آلفا قنطورس

صورت: آلفا قنطورس نزدیک‌ترین سیستم ستاره‌ای به خورشیده، در فاصله‌ی 4.37 ly (سال نوری). این فاصله چقدر متر ـه؟ اگه یه سیگنال رادیویی الان ازش گرفتیم، چند سال پیش فرستاده شده؟

داده‌ها:

ابزار: §1.6 (نوتیشن علمی برای اعداد نجومی)، §1.9 (تبدیل ly → m و s → year)

راه‌حل:

بخش اول — فاصله در متر:

\[ d = 4.37\ \mathrm{ly}\ \times\ \frac{9.461 \times 10^{15}\,\mathrm{m}}{1\,\mathrm{ly}} \]

عملیات:

\[ d = 4.37 \times 9.461 \times 10^{15}\ \mathrm{m} = 41.34 \times 10^{15}\ \mathrm{m} = 4.13 \times 10^{16}\ \mathrm{m} \]

بخش دوم — زمان سفر نور:

\[ t = \frac{d}{c} = \frac{4.13 \times 10^{16}\ \mathrm{m}}{2.998 \times 10^{8}\ \mathrm{m/s}} = 1.38 \times 10^{8}\ \mathrm{s} \]

این عدد رو به سال ببریم:

\[ t = 1.38 \times 10^{8}\ \mathrm{s}\ \times\ \frac{1\,\mathrm{year}}{3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}} = 4.37\ \mathrm{year} \]

بررسی مستقل: طبق تعریف، سال نوری یعنی فاصله‌ای که نور در یک سال طی می‌کنه. پس اگه فاصله 4.37 ly باشه، نور 4.37 year طول می‌کشه — و همینه که به دست آوردیم. این یه circular check ساده و مفیده.

رقم بامعنا: کمترین ورودی 3 sig fig ـه، پس جواب هم 3 sig fig.

پاسخ:

\[ \boxed{d = 4.13 \times 10^{16}\ \mathrm{m},\qquad t = 4.37\ \mathrm{year} \approx 138\ \mathrm{million\ seconds}} \]

سیگنالی که الان دریافت می‌کنیم، وقتی فرستاده شده که مثلاً یه نوجوان الان ۲۰ سالش شده بود. اگه بخوایم دوطرفه ارتباط داشته باشیم، هر پاسخ بیش از ۸.۷ سال طول می‌کشه.

مسئله ۳: تب یا نه؟

صورت: یه پزشک آمریکایی برای بیمار دمای 100.4°F گزارش می‌کنه. برای مقایسه با دمای طبیعی بدن (37.0°C)، هر دو رو باید توی یه مقیاس بیاریم. تفاوت با نرمال رو هم به °C و هم به °F حساب کن.

داده‌ها:

ابزار: §1.9 (تبدیل غیرخطی دما، تمایز مقدار مطلق vs اختلاف)

راه‌حل:

گام ۱ — تبدیل مقدار مطلق:

مقیاس فارنهایت هم آفست داره هم ضریب. برای مقدار مطلق factor-label به تنهایی جواب نمی‌ده؛ باید فرمول کامل رو استفاده کنیم:

\[ T_C = \tfrac{5}{9}(T_F - 32) = \tfrac{5}{9}(100.4 - 32) = \tfrac{5}{9}(68.4) = 38.0\ ^{\circ}\mathrm{C} \]

گام ۲ — اختلاف با نرمال به °C:

\[ \Delta T_C = 38.0\ ^{\circ}\mathrm{C} - 37.0\ ^{\circ}\mathrm{C} = 1.0\ ^{\circ}\mathrm{C} \]

گام ۳ — اختلاف با نرمال به °F:

اینجا 98.6 °F معادل 37.0 °C (که نرمال طب انگلیسی-آمریکاست):

\[ \Delta T_F = 100.4 - 98.6 = 1.8\ ^{\circ}\mathrm{F} \]

بررسی نسبت (چک §1.9): برای اختلاف دما، آفست حذف می‌شه و فقط ضریب می‌مونه:

\[ \frac{\Delta T_F}{\Delta T_C} = \frac{1.8}{1.0} = 1.80 = \tfrac{9}{5}\quad ✓ \]

این تفاوت مهمه: مقدار مطلق با فرمول کامل (شامل آفست) تبدیل می‌شه، ولی اختلاف فقط با ضریب 9/5 (بدون آفست). این همون قاعده‌ای‌ست که در §1.9 توضیح دادیم.

رقم بامعنا: ورودی 100.4 رو با 4 sig fig داشتیم، 37.0 رو با 3 sig fig. برای تفریق، موقعیت آخرین رقم ملاک ـه (§1.8) — هر دو تا اعشار اول دقیقن، پس 1.0 °C معتبره.

پاسخ:

\[ \boxed{T = 38.0\ ^{\circ}\mathrm{C},\qquad \Delta T = 1.0\ ^{\circ}\mathrm{C} = 1.8\ ^{\circ}\mathrm{F}} \]

نکته‌ی بالینی: آستانه‌ی رسمی تب معمولاً 38.0 °C (100.4 °F) ـه. این بیمار دقیقاً روی مرزه. دقت ترمومترهای دیجیتال خانگی حدود ±0.1 °C ـه، پس گزارش دقیق‌تر معنی نداره — این هم درسِ §1.8: بیش از دقت دستگاه رقم گزارش نکن.

مسئله ۴: راندمان سوخت — km/L ↔ mpg

صورت: یه ماشین ایرانی راندمان 15 km/L رو تبلیغ می‌کنه. یه دوست آمریکایی می‌خواد بدونه این معادل چند mpg (میل بر گالن آمریکایی) ـه. برعکس هم بگو: خودروی هیبرید آمریکایی 52 mpg معادل چند km/L ـه؟

داده‌ها:

ابزار: §1.9 (تبدیل زنجیره‌ای با یکا در صورت و مخرج)

راه‌حل:

تبدیل ۱: 15 km/L → mpg

می‌خوایم km رو به mile ببریم (پس mile بره بالا)، و L رو به gallon (پس gallon بره پایین):

\[ 15\ \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{L}} \ \times\ \frac{1\,\mathrm{mile}}{1.609\,\mathrm{km}} \ \times\ \frac{3.785\,\mathrm{L}}{1\,\mathrm{gal}} = \frac{15 \times 3.785}{1.609}\ \frac{\mathrm{mile}}{\mathrm{gal}} \]

\[ = \frac{56.775}{1.609} = 35.29\ \mathrm{mpg} \]

تبدیل ۲: 52 mpg → km/L

این‌بار برعکس — mile رو به km ببریم (بالا)، gallon رو به L (پایین):

\[ 52\ \frac{\mathrm{mile}}{\mathrm{gal}} \ \times\ \frac{1.609\,\mathrm{km}}{1\,\mathrm{mile}} \ \times\ \frac{1\,\mathrm{gal}}{3.785\,\mathrm{L}} = \frac{52 \times 1.609}{3.785}\ \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{L}} \]

\[ = \frac{83.668}{3.785} = 22.11\ \mathrm{km/L} \]

بررسی ابعادی: در تبدیل ۱، km بالا و پایین حذف شد، L بالا و پایین حذف شد. باقی: mile/gal ✓. در تبدیل ۲ برعکس ✓.

رقم بامعنا: ورودی‌ها 2 sig fig دارن، پس جواب هم:

\[ \boxed{15\ \mathrm{km/L} \approx 35\ \mathrm{mpg},\qquad 52\ \mathrm{mpg} \approx 22\ \mathrm{km/L}} \]

نکته‌ی رانندگی: توجه کن km/L (بزرگ‌تر = بهتر) با L/100km (کوچک‌تر = بهتر) که در اروپا معیاره، دو یکای معکوس همدیگه‌ان. یعنی 15 km/L = 100/15 = 6.67 L/100km. اگه یه نمودار مصرف سوخت رسم می‌کنی، انتخاب یکا مهمه — چون L/100km خطی روی زمان/فاصله‌ی سفر ـه ولی km/L نه.

مسئله ۵: جرم اتمسفر زمین

صورت: با استفاده از فشار در سطح زمین، شعاع زمین، و شتاب گرانش، جرم کل اتمسفر رو تخمین بزن. این یه تمرین کلاسیکه که ابتکار ازش می‌خواد — چون هیچ فرمول آماده‌ای برای «جرم اتمسفر» تو کتابا نیست. با تحلیل ابعادی باید خودت فرمول رو بسازی.

داده‌ها:

ابزار: §1.7 (ساخت فرمول از اصول)، §1.9 (تبدیل‌های ضمنی)، §1.6 (نوتیشن علمی برای اعداد بزرگ)، §1.8 (رقم بامعنا)

راه‌حل:

گام ۱ — ساخت فرمول (تحلیل ابعادی + فیزیک):

اتمسفر یه لایه‌ی گازیه که وزنش روی سطح زمین می‌افته. فشار سطح تعریفاً یعنی نیرو بر واحد سطح:

\[ P_0 = \frac{F_{\mathrm{atm}}}{A_{\mathrm{Earth}}} \]

و نیروی وزن اتمسفر (اگه فرض کنیم g تقریباً ثابته):

\[ F_{\mathrm{atm}} = M_{\mathrm{atm}}\,g \]

سطح زمین (کره‌ی به شعاع R_E):

\[ A_{\mathrm{Earth}} = 4\pi R_E^{2} \]

ترکیب:

\[ P_0 = \frac{M_{\mathrm{atm}}\,g}{4\pi R_E^{2}} \quad\Rightarrow\quad M_{\mathrm{atm}} = \frac{4\pi R_E^{2}\,P_0}{g} \]

بررسی ابعادی:

\[ \left[\frac{R^2 P}{g}\right] = \frac{\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{Pa}}{\mathrm{m/s^2}} = \frac{\mathrm{m}^2\cdot(\mathrm{kg/(m\cdot s^2)})}{\mathrm{m/s^2}} = \frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\cdot\frac{\mathrm{s}^2}{\mathrm{m}} = \mathrm{kg}\quad ✓ \]

گام ۲ — عددی:

سطح زمین:

\[ A_E = 4\pi\,(6.37\times 10^{6})^{2} = 4\pi\,(40.58 \times 10^{12})\,\mathrm{m}^2 = 5.10 \times 10^{14}\ \mathrm{m}^2 \]

نیروی کل جوّ:

\[ F_{\mathrm{atm}} = P_0\,A_E = (1.013\times 10^{5})\,(5.10\times 10^{14})\ \mathrm{N} = 5.17 \times 10^{19}\ \mathrm{N} \]

جرم:

\[ M_{\mathrm{atm}} = \frac{F_{\mathrm{atm}}}{g} = \frac{5.17 \times 10^{19}}{9.81}\ \mathrm{kg} = 5.27 \times 10^{18}\ \mathrm{kg} \]

مقایسه با مقدار واقعی (NASA): M_atm ≈ 5.15 × 10^18 kg. تخمین ما با حدود ۲٪ خطا — بهترین دقتی که با این فرمول ساده می‌شه گرفت. علت اختلاف: g واقعاً با ارتفاع تغییر می‌کنه، هوا فشرده‌سازی داره، و اتمسفر تخت نیست (bulge استوایی داره).

رقم بامعنا: کمترین ورودی 3 sig fig ـه، پس جواب هم 3 sig fig.

پاسخ:

\[ \boxed{M_{\mathrm{atm}} \approx 5.27 \times 10^{18}\ \mathrm{kg} \approx 5{,}270\ \mathrm{Pg}} \]

برای شهود: جرم اتمسفر حدود یک میلیونیم جرم زمین ـه (M_E ≈ 5.97 × 10^24 kg). ولی اگه فقط نیتروژن اتمسفر رو در نظر بگیری، دو برابر جرم کل اقیانوس‌های زمین نیتروژن مایع می‌شد.

مسئله ۶: تخمین Fermi — آب توی یه ابر باران

صورت: یه ابر باران متوسط چقدر آب توش داره؟ این نمونه‌ی کلاسیک از تخمین Fermi (§1.6) ـه — با ورودی‌های تقریبی و تنها یک رقم بامعنا، به مرتبه‌ی بزرگی درست می‌رسیم.

داده‌ها (تقریبی):

ابزار: §1.6 (تخمین Fermi، نوتیشن علمی)، §1.8 (رقم بامعنا در ورودی‌های ضعیف)

راه‌حل:

حجم ابر:

\[ V = (1\,\mathrm{km})^{3} = (10^3\,\mathrm{m})^{3} = 10^{9}\ \mathrm{m}^3 \]

نکته‌ی §1.9 (توان روی یکا): توان 3 روی کل km عمل می‌کنه، یعنی (10^3)^3 = 10^9. اگه فقط 10^3 نگه می‌داشتیم، جواب یه میلیون بار غلط می‌شد.

جرم آب:

\[ M_{\mathrm{water}} = V \cdot \mathrm{LWC} = (10^{9}\,\mathrm{m}^3) \cdot (0.5\,\mathrm{g/m}^3) = 5 \times 10^{8}\ \mathrm{g} = 5 \times 10^{5}\ \mathrm{kg} \]

معادلش:

رقم بامعنا: چون LWC رو با 1 sig fig گذاشتیم، جواب فقط مرتبه‌ی بزرگی درسته:

\[ \boxed{M_{\mathrm{water}} \sim 5 \times 10^{5}\ \mathrm{kg} \sim 500\ \mathrm{tonne}} \]

درس‌های مهم:

  1. تخمین Fermi دقت بالا نمی‌ده — ولی مرتبه‌ی بزرگی رو با ابزارهای ساده در می‌آره. اگه یکی گفت «آب توی ابر ۵ کیلو ـه» یا «۵۰ میلیون تن»، بدون محاسبه‌ی دقیق می‌فهمی اشتباهه.
  2. رقم بامعنا حاصل ورودی‌هاست، نه انتخاب ما. با ورودی 1 sf، جواب 1 sf. نمی‌شه از هوا 5.27 × 10^5 kg گفت.
  3. بررسی شهود بعد از تخمین: فرمول تحلیلی می‌گه 5 × 10^5 kg که همون 500 tonne ـه — ولی چون قطرات ریزن، وقتی می‌بارن جرم کل به آرومی روی زمین می‌ریزه، نه یهو. اگه یهو می‌ریخت، هر ابر یه فاجعه بود.

پیوند به بخش‌های قبلی

هر مسئله چند ابزار رو ترکیب کرد:

مسئله §1.6 (نوتیشن علمی) §1.7 (تحلیل ابعادی) §1.8 (رقم بامعنا) §1.9 (تبدیل یکا)
۱ — گودال ماریانا ✓ ✓ ✓
۲ — آلفا قنطورس ✓ ✓
۳ — تب ✓ ✓ (غیرخطی)
۴ — راندمان سوخت ✓ ✓ (زنجیره‌ای)
۵ — جرم اتمسفر ✓ ✓ (ساخت فرمول) ✓ ✓
۶ — ابر باران ✓ (Fermi) ✓

اگه با هر کدوم مشکل داشتی، به بخش مرجع برگرد. الگوی ۵ گامی (صورت، ابزار، حل، بررسی ابعادی، رقم بامعنا) همه‌جا کار می‌کنه — از تمرین فصل ۱ تا مسئله‌ی مکانیک کوانتومی.

چه چیزی رو باید یاد گرفته باشی

بعد از این بخش باید بتونی:

بخش بعدی (§1.11) تمرین‌های حل‌نشده‌ست — مسائل ابتکاری که خودت باید حل کنی، همراه با پاسخ نهایی برای صحّت‌سنجی.

📚 همچنین ببین: Halliday Vol 1, Ch 1 — بخش‌های Worked Examples و Problems انتهای فصل (ساختار مسائل، ولی scenarioها متفاوت). 📖 مرجع آزاد: OpenStax University Physics Vol 1 — Chapter 1: Units and Measurement (نمونه‌های حل‌شده با scenarioهای متنوع). 📖 Feynman Lectures — Vol I, Ch 5: Time and Distance (تخمین‌های Fermi از استاد این کار).

⇧ بازگشت به فهرست فصل

سوالی دارید؟ 🤔

اگه مفهومی نامشخص بود یا سوالی داشتید، اینجا بپرسید. جوابتون در اینجا منتشر می‌شه.