تمرین‌ها — ۲۲ مسئله برای تسلط بر ابزارها

توی §1.10 دیدی که چهار ابزار §1.6–§1.9 کنار هم چطور کار می‌کنن. حالا نوبت توئه — این بخش ۲۲ مسئله می‌ده که خودت با ابزارها حل کنی. برای هر مسئله فقط پاسخ نهایی و یه راهنمای یک‌خطی داده شده. اگه راه‌حل کامل خواستی، به الگوی ۵-گامی §1.10 برگرد.

دسته‌بندی طبق ماژول کتاب: طول (M1)، زمان (M2)، جرم/چگالی (M3)، ترکیبی (M4). ۶ مسئله‌ی آخر (M4) سناریوهای ابتکاری‌ان که فراتر از هالیدی می‌رن.

درجه‌ی دشواری:

نکته‌ی کپی‌رایت: هیچ‌کدوم از این scenarioها از هالیدی نیستن. جایی که مسئله موازیِ یه مسئله‌ی مشخص از هالیدیه، ارجاع داده‌ایم برای مرجع (نه بازتولید).

ماژول M1 — طول

مسئله ۱ ⭐ (پارالل با Halliday Ch1 P1)

ماه تقریباً کره‌ای با شعاع 1.74 × 10^6 m ـه. حساب کن: (a) محیط ماه به km (b) مساحت سطح ماه به km^2 (c) حجم ماه به km^3

راهنما: C=2πR, A=4πR^2, V=(4/3)πR^3. تبدیل m→km رو در پایان اعمال کن.

پاسخ: \[ \boxed{C = 1.09 \times 10^4\ \mathrm{km},\quad A = 3.80 \times 10^7\ \mathrm{km^2},\quad V = 2.21 \times 10^{10}\ \mathrm{km^3}} \]

مسئله ۲ ⭐ (پارالل با Halliday P3)

نانومتر (1 nm) واحدی رایج در فیزیک اتمی و نانوتکنولوژیه: (a) چند nm در 1 mile هست؟ (b) 1 nm معادل چند mm ـه؟ (c) چند پیکومتر (pm) در 1 foot هست؟

داده: 1 mile = 1.609 km, 1 ft = 30.48 cm

راهنما: تبدیل زنجیره‌ای با یکای مقصد نهایی به توان 10^{-9} (nano) یا 10^{-12} (pico).

پاسخ: \[ \boxed{ \text{(a)}\ 1.609 \times 10^{12}\ \mathrm{nm},\quad \text{(b)}\ 10^{-6}\ \mathrm{mm},\quad \text{(c)}\ 3.048 \times 10^{11}\ \mathrm{pm} } \]

مسئله ۳ ⭐⭐ (پارالل با Halliday P5)

در دوره‌ی صفوی، واحدهای طول در ایران عبارت بودن از:

\[ 1\ \mathrm{فرسنگ} \approx 6.24\ \mathrm{km},\quad 1\ \mathrm{گز} \approx 1.04\ \mathrm{m},\quad 1\ \mathrm{ذرع} \approx 1.04\ \mathrm{m} \]

(a) یه مسافرت 12.5 farsang معادل چند km ـه؟ (b) طول یه فرش 4.5 gaz × 3.2 gaz معادل چند m^2 ـه؟ (c) اگه یه سرباز صفوی روزی 8 farsang راه می‌رفت، سرعت متوسطش به m/s چقدر بود؟ فرض کن ۱۲ ساعت حرکت.

راهنما: بخش (c) نیاز به تبدیل hour → s و بعد factor-label داره.

پاسخ: \[ \boxed{ \text{(a)}\ 78.0\ \mathrm{km},\quad \text{(b)}\ 15.6\ \mathrm{m^2},\quad \text{(c)}\ v \approx 1.16\ \mathrm{m/s} } \]

مسئله ۴ ⭐⭐ (پارالل با Halliday P7)

یک طوفانِ رعد و برق 85 mm بارون روی محدوده‌ی 340 km^2 تهران باروند. حجم کل آب افتاده به m^3 و به لیتر چقدر ـه؟ اگه این آب توی مخزن سد امیرکبیر (ظرفیت 205 × 10^6 m^3) ذخیره می‌شد، چند درصد از مخزن پُر می‌شد؟

راهنما: V = h · A — دقت به تبدیل‌های mm→m و km^2 → m^2.

پاسخ: \[ \boxed{ V = 2.89 \times 10^7\ \mathrm{m^3} = 2.89 \times 10^{10}\ \mathrm{L},\quad \eta \approx 14.1\% } \]

مسئله ۵ ⭐⭐ (پارالل با Halliday P9)

دریاچه‌ی ارومیه تقریباً بیضی‌شکل با نیم‌محورهای 70 km و 28 km ـه. عمق متوسط تاریخی‌ش 5.5 m بوده. حجم آب در حالت پُر رو حساب کن (به km^3 و به m^3).

راهنما: مساحت بیضی: A = π · a · b. عمق ثابت فرض کن.

پاسخ: \[ \boxed{V \approx 33.9\ \mathrm{km^3} = 3.39 \times 10^{10}\ \mathrm{m^3}} \]

مسئله ۶ ⭐⭐⭐ (پارالل با Halliday P8)

یه بازیکن بسکتبال با قد 2.06 m استفاده می‌شه به عنوان «واحد» غیررسمی برای اندازه‌گیری زمین بسکتبال. اگه طول زمین 28.0 m باشه، برحسب «واحد بازیکن» چقدره؟ اگه از این معیار برای اندازه‌گیری زمین فوتبال 100.0 m طول و 60.0 m عرض استفاده کنیم، مساحت به «واحد بازیکن مربع» چقدر می‌شه؟ (تفسیر نتیجه: چرا واحدهای غیراستاندارد در فیزیک مشکل‌سازند؟)

راهنما: تقسیم ساده. برای مربع، واحد به توان ۲ می‌ره — طبق قاعده‌ی §1.9.

پاسخ: \[ \boxed{ 28.0/2.06 = 13.6\ \text{player-units},\quad \frac{100.0 \times 60.0}{2.06^2} = 1414\ \text{player-units}^2 } \]

درس: بدون تعریف رسمی و ثابت، هر کس با قد متفاوت جواب متفاوت می‌گیره. این دلیل SI ـه.

ماژول M2 — زمان

مسئله ۷ ⭐ (پارالل با Halliday P17)

سه ساعت اتمی سزیوم (A, B, C) در یک آزمایشگاه ملّی تست می‌شن. طبق مرجع UTC، بعد از دقیقاً 1 year:

کدوم ساعت بهترین دقت رو داره؟ اختلاف نسبی هر ساعت به مرجع رو حساب کن (به شکل درصد و ppb = part per billion).

راهنما: اختلاف نسبی = |Δt| / t_total. برای ppb، ضرب در 10^9.

پاسخ: ساعت C دقیق‌ترین ـه. \[ \boxed{ \begin{aligned} \text{A:}\ &1.33 \times 10^{-11} = 0.0133\ \mathrm{ppb} \\ \text{B:}\ &2.82 \times 10^{-11} = 0.0282\ \mathrm{ppb} \\ \text{C:}\ &3.80 \times 10^{-12} = 0.00380\ \mathrm{ppb} \end{aligned} } \]

مسئله ۸ ⭐⭐ (پارالل با Halliday P12)

یه گیاه بامبو در فصل رشد می‌تونه تا 91 cm/day رشد کنه (رکورد گینس). اگه رشد یکنواخت باشه: (a) سرعت رشد به μm/s چقدره؟ (b) در 2 minute چند mm رشد می‌کنه؟ (c) اگه سطح مقطع ساقه 4.0 cm^2 باشه و چگالی چوب 0.60 g/cm^3 باشه، در 1 hour چند g توده‌ی جدید تولید می‌کنه؟

راهنما: (a) تبدیل زنجیره‌ای cm→μm و day→s. (c) Δm = ρ · A · Δh.

پاسخ: \[ \boxed{ \text{(a)}\ 10.5\ \mathrm{μm/s},\quad \text{(b)}\ 1.26\ \mathrm{mm},\quad \text{(c)}\ \Delta m = 0.091\ \mathrm{g/hour} } \]

مسئله ۹ ⭐⭐ (پارالل با Halliday P16)

یک نوترون‌ستاره در پالسار PSR J1748-2446ad با فرکانس 716 Hz می‌چرخه — سریع‌ترین پالسار شناخته‌شده. دوره‌ی چرخش رو به ms و μs حساب کن. در 1 hour این ستاره چند بار می‌چرخه؟

راهنما: T = 1/f. برای تعداد چرخش: N = f · Δt.

پاسخ: \[ \boxed{ T = 1.40\ \mathrm{ms} = 1.40 \times 10^3\ \mathrm{μs},\quad N_{\mathrm{hour}} = 2.58 \times 10^6\ \text{rotations} } \]

مسئله ۱۰ ⭐⭐⭐ (پارالل با Halliday P18)

دوره‌ی چرخش زمین در دوره‌ی دایناسورها (~200 Ma پیش) حدود 22.5 hour بود. الان 24.0 hour ـه (دقیق‌تر: 86,164 s). تفاوت زمان کندشدن روزانه چقدره (به ms)؟ اگه این کندشدن یکنواخت باشه، چند سال طول می‌کشه که روز زمین به 25 hour برسه؟

راهنما:

پاسخ: \[ \boxed{ \text{نرخ:}\ \frac{1.5\ \mathrm{h}}{2 \times 10^8\ \mathrm{yr}} \approx 27\ \mathrm{ms/century},\quad \text{زمان تا 25h:}\ \approx 1.3 \times 10^8\ \mathrm{year} } \]

نکته: واقعاً چرخش زمین به‌صورت دقیق کند نمی‌شه (کوپل کشندی خطی نیست) — تخمین بالا فقط یه linearization ساده‌ست.

مسئله ۱۱ ⭐ (پارالل با Halliday P14)

یک واحد سرگرم‌کننده: 1 microcentury = 10^{-6} · century = 52.6 min. اگه یه امتحان 120 min طول بکشه، چند microcentury ـه؟ برعکس، 10 microcentury چند ساعت ـه؟

راهنما: ضرب/تقسیم مستقیم.

پاسخ: \[ \boxed{ 120\ \mathrm{min} = 2.28\ \mathrm{μcentury},\quad 10\ \mathrm{μcentury} = 8.77\ \mathrm{hour} } \]

ماژول M3 — جرم و چگالی

مسئله ۱۲ ⭐ (پارالل با Halliday P22)

پلاتین چگالی 21.45 g/cm^3 داره — از فلزات با چگالی خیلی بالاست. یه شمش پلاتین با ابعاد 10.0 cm × 5.0 cm × 2.0 cm: (a) حجمش به cm^3 و m^3 چقدر ـه؟ (b) جرمش به kg چقدر ـه؟ (c) اگه قیمت پلاتین 31 $/g باشه، ارزش این شمش چند دلاره؟

راهنما: حجم مستطیلی، بعد m = ρV، در آخر ضرب در قیمت.

پاسخ: \[ \boxed{ V = 100\ \mathrm{cm^3} = 10^{-4}\ \mathrm{m^3},\quad m = 2.145\ \mathrm{kg},\quad \$ = 66{,}500 } \]

مسئله ۱۳ ⭐ (پارالل با Halliday P23)

جرم 1 m^3 آب رو حساب کن (چگالی آب = 1.000 × 10^3 kg/m^3 دقیقاً). حالا اگه یه استخر 25 m × 12 m × 2.5 m رو کاملاً پر کنیم: (a) چند m^3 آب هست؟ (b) جرم کل آب به tonne (تن متری) چقدر ـه؟ (c) اگه بخوایم این آب رو گرم کنیم از 20°C به 28°C (گرمای ویژه: c = 4186 J/(kg·K))، چند MJ انرژی لازمه؟

راهنما: Q = mc·ΔT. بررسی ابعادی: [kg × J/(kg·K) × K] = J ✓

پاسخ: \[ \boxed{ V = 750\ \mathrm{m^3},\quad m = 750\ \mathrm{tonne},\quad Q = 2.51 \times 10^{10}\ \mathrm{J} = 25.1\ \mathrm{GJ} } \]

مسئله ۱۴ ⭐⭐ (پارالل با Halliday P24)

یه نمونه ماسه با دانه‌های تقریباً کروی به شعاع متوسط 80 μm جمع‌آوری شده. جنس دانه‌ها سیلیس (ρ = 2.65 g/cm^3).

(a) حجم یه دانه به m^3 چقدر ـه؟ (b) جرم یه دانه به μg چقدر ـه؟ (c) اگه یه فنجان 250 mL رو کاملاً از این ماسه پُر کنیم (فرض چگالی بسته‌بندی 1.6 g/cm^3 — لحاظ فضاهای خالی)، تقریباً چند دانه توش هست؟

راهنما: V_grain = (4/3)π r^3. برای (c): از چگالی بسته‌بندی استفاده کن، نه چگالی خالص.

پاسخ: \[ \boxed{ V_{\mathrm{grain}} = 2.14 \times 10^{-12}\ \mathrm{m^3},\quad m_{\mathrm{grain}} = 5.68\ \mathrm{μg},\quad N \approx 7.0 \times 10^{7}\ \text{grains} } \]

مسئله ۱۵ ⭐⭐ (پارالل با Halliday P26)

یه ابر cumulus معمولی در 1 cm^3 تقریباً 200 قطره آب داره، هر کدوم با شعاع متوسط 12 μm. (a) جرم یه قطره به μg. (b) جرم آب در 1 m^3 ابر (به g). (c) اگه ابر مکعبی به ضلع 500 m باشه، جرم کل آب به kg چقدر ـه؟

راهنما: m_drop = (4/3)π r^3 · ρ_water. V_cloud = 500^3 m^3.

پاسخ: \[ \boxed{ m_{\mathrm{drop}} = 7.24 \times 10^{-6}\ \mathrm{μg},\quad m_{1\mathrm{m^3}} = 1.45\ \mathrm{g},\quad M_{\mathrm{cloud}} \approx 1.81 \times 10^{5}\ \mathrm{kg} } \]

تفسیر: حدود ۱۸۰ تن آب در یه ابر متوسط — شبیه چیزی که در §1.10 مسئله‌ی ۶ تخمین Fermi زدیم.

مسئله ۱۶ ⭐⭐ (پارالل با Halliday P40, P42)

اتم اکسیژن جرم 16 u داره (1 u = 1.660 × 10^{-27} kg). آب (H₂O) دو اتم H (هر کدوم 1.0 u) و یک اتم O داره. (a) جرم یه مولکول آب به kg چقدر ـه؟ (b) در 1 kg آب چند مولکول هست؟ (c) در تمام اقیانوس‌های زمین (جرم کل ≈ 1.4 × 10^{21} kg) چند مولکول آب هست؟

راهنما: جرم مولکول = 18 u. N = m_total / m_molecule.

پاسخ: \[ \boxed{ m_{\mathrm{mol}} = 2.99 \times 10^{-26}\ \mathrm{kg},\quad N_{1\mathrm{kg}} = 3.35 \times 10^{25},\quad N_{\mathrm{ocean}} = 4.69 \times 10^{46} } \]

مسئله ۱۷ ⭐⭐⭐ (پارالل با Halliday P43)

یک بیمار در طی 6 month رژیم غذایی، 18 kg وزن کم می‌کنه. (a) نرخ کاهش جرم به mg/s چقدر ـه؟ (b) اگه فرض کنیم چربی چگالی 0.90 g/cm^3 داره و همه‌ی کاهش وزن چربی بوده، حجم چربی از دست‌رفته به L چقدر ـه؟ (c) هر g چربی حدود 9 kcal انرژی داره. کل انرژی معادل چند kcal و چند MJ ـه؟

راهنما:

پاسخ: \[ \boxed{ \dot m = 1.14\ \mathrm{mg/s},\quad V = 20.0\ \mathrm{L},\quad E = 162{,}000\ \mathrm{kcal} \approx 678\ \mathrm{MJ} } \]

نکته: این معادل انرژیِ سوزوندنِ ~18 L بنزین ـه — که چرا کاهش وزن اینقدر سخته.

ماژول M4 — سناریوهای ابتکاری (فراتر از هالیدی)

مسئله ۱۸ ⭐⭐ (ابتکاری — نفت ایران)

در ایران، تولید نفت به «بشکه در روز» (barrel per day, bpd) گزارش می‌شه. 1 barrel = 158.987 L. اگه ایران روزانه 3.5 × 10^6 bpd تولید کنه: (a) تولید سالانه به m^3 چقدر ـه؟ (b) اگه چگالی نفت خام 0.87 g/cm^3 باشه، جرم سالانه به tonne چقدر ـه؟ (c) با فرض قیمت 85 $/barrel، درآمد سالانه به میلیارد دلار چقدره؟

راهنما: 1 year = 365.25 day. 1 L = 10^{-3} m^3.

پاسخ: \[ \boxed{ V_{\mathrm{year}} = 2.03 \times 10^8\ \mathrm{m^3},\quad M = 1.77 \times 10^8\ \mathrm{tonne},\quad \$ \approx 108.6\ \text{billion} } \]

مسئله ۱۹ ⭐ (ابتکاری — تقویم شمسی)

تقویم هجری شمسی از هجرت پیامبر (سال 622 میلادی) شروع می‌شه. سال شمسی متوسط 365.2424 day طول داره (کمی دقیق‌تر از میلادی). (a) امروز حدود 1405-04-13 شمسی (2026-07-04 میلادی). تقریباً چند روز از هجرت گذشته؟ (b) اگه سال میلادی رو 365.2425 day بگیریم، اختلاف نسبی بین سال شمسی و میلادی چند ppm ـه؟ (c) بعد از چند سال شمسی، این اختلاف به 1 day می‌رسه؟

راهنما: ppm = part per million = 10^{-6}. اختلاف: |T_shamsi − T_miladi|/T_miladi.

پاسخ: \[ \boxed{ N_{\mathrm{days}} \approx 512{,}800,\quad \Delta = 0.27\ \mathrm{ppm},\quad \text{year to 1-day drift:}\ \approx 3.7 \times 10^6\ \mathrm{year} } \]

نکته: یعنی تقویم شمسی برای میلیون‌ها سال دقت داره — مهندسیِ خیره‌کننده‌ای که خیام و منجمان دربار ملک‌شاه در قرن ۱۱ انجام دادن.

مسئله ۲۰ ⭐⭐ (ابتکاری — باتری لیتیوم)

یه باتری لیتیوم-یون گوشی موبایل معمولاً چگالی انرژی 250 Wh/kg و ولتاژ 3.7 V داره. فرض کن گوشی جدید 4000 mAh ظرفیت داره: (a) انرژی کل به Wh و J. (b) جرم فقط سلول باتری (نه بدنه) به g. (c) اگه یه لپ‌تاپ به 70 Wh نیاز داشته باشه، جرم متناظر سلول‌ها چقدره؟

راهنما:

پاسخ: \[ \boxed{ E_{\mathrm{phone}} = 14.8\ \mathrm{Wh} = 5.33 \times 10^4\ \mathrm{J},\quad m_{\mathrm{phone\ cell}} = 59.2\ \mathrm{g},\quad m_{\mathrm{laptop\ cell}} = 280\ \mathrm{g} } \]

مسئله ۲۱ ⭐⭐⭐ (ابتکاری — هش‌ریت بیت‌کوین)

شبکه‌ی بیت‌کوین در 2026 هش‌ریتی حدود 700 EH/s (اگزاهش بر ثانیه) داره. 1 EH = 10^{18} H. (a) هش‌ریت به H/s و به ZH/day (زتاهش بر روز، 1 ZH = 10^{21} H). (b) اگه هر عملیات هش تقریباً 5 nJ مصرف کنه (بهترین ASICها)، توان مصرفی کل شبکه به MW و GW. (c) این توان معادل چند تا نیروگاه هسته‌ای 1 GW ـه؟

راهنما:

پاسخ: \[ \boxed{ \begin{aligned} &\text{hash rate:}\ 7 \times 10^{20}\ \mathrm{H/s} = 60.5\ \mathrm{ZH/day} \\ &P \approx 3.5\ \mathrm{GW} = 3500\ \mathrm{MW} \\ &\text{≈ 3.5 nuclear plants} \end{aligned} } \]

نکته: این حدود ۰.۱٪ کل مصرف برق جهان ـه — به همین دلیل بحث پایداری این شبکه‌ها داغه.

مسئله ۲۲ ⭐⭐⭐ (ابتکاری — زلزله و انرژی)

مقیاس ریشتر (moment magnitude) با انرژی زلزله رابطه‌ی لگاریتمی داره:

\[ \log_{10}(E) = 1.5\,M + 4.8 \qquad (E\ \text{در ژول}) \]

(a) انرژی زلزله‌ی M=6.0 (متوسط، مثل زلزله‌ی ورزقان 2012) به J و TJ چقدر ـه؟ (b) انرژی زلزله‌ی M=8.0 (بزرگ، مثل بم 2003 یا کوبه ۹.۱)؟ (c) نسبت انرژی زلزله‌ی M=8.0 به M=6.0 — یعنی هر واحد ریشتر تقریباً چند برابر انرژی می‌ده؟

راهنما:

پاسخ: \[ \boxed{ \begin{aligned} &M{=}6.0:\ E = 6.31 \times 10^{13}\ \mathrm{J} = 63.1\ \mathrm{TJ} \\ &M{=}8.0:\ E = 6.31 \times 10^{16}\ \mathrm{J} = 63.1\ \mathrm{PJ} \\ &\text{Ratio:}\ 10^3 = 1000\ (\text{هر واحد}\ M \approx 32×) \end{aligned} } \]

تفسیر: یه زلزله‌ی M=8 معادل هزار زلزله‌ی M=6 انرژی داره — به همین دلیل زلزله‌های بزرگ اونقدر ویرانگرن. هر ۱ واحد ریشتر تقریباً 10^{1.5} ≈ 32× انرژی اضافه می‌کنه (نه ۱۰×!).

اگه سرشلوغه — این ۶تا رو حل کن

اگه وقت محدود داری، این ۶ مسئله‌ی «signature» رو انتخاب کن — هر ۴ ابزار رو حداقل یک بار می‌زنن:

بعد از این چی؟

بعد از این بخش:

📚 همچنین ببین: Halliday Vol 1, Ch 1 — مسائل Module 1.1–1.3 برای تنوع سناریوها. 📖 مرجع آزاد: OpenStax University Physics Vol 1 — Chapter 1 Problems (با راه‌حل). 📖 Physics Stack Exchange — برای مسائل چالشی‌تر (اما مراقب باش که راه‌حل کامل رو قبل از تلاش خودت نبینی).

⇧ بازگشت به فهرست فصل

سوالی دارید؟ 🤔

اگه مفهومی نامشخص بود یا سوالی داشتید، اینجا بپرسید. جوابتون در اینجا منتشر می‌شه.