از پیوستهای ۱ و ۲، حالا هر دو تکهی معما رو داریم:
- قانون (نیوتون):
F = GMm/r² - عدد (کاوندیش):
G ≈ 6.67 × 10⁻¹¹ N·m²/kg²
با اضافه کردن دو تا اندازهگیری کلاسیک (g از گالیله، R_E از اراتوستنس)، همهچیز دربارهی گرانش زمین فرو میریزه — جرمش، چگالیش، منشأ عددی g، و تغییرش با ارتفاع. این پیوست همون ثمرهچینی ـه.
گام ۱ — جرم زمین
جسمی به جرم m روی سطح زمین (فاصلهی R_E از مرکز) طبق قانون جهانی:
\[ F = G\,\frac{M_E\, m}{R_E^2} \]
از دیدگاه محلی، این همون وزن جسمه:
\[ W = m g \]
که g شتاب سقوط آزاد ـه. برابر گرفتن دو عبارت:
\[ m g = G\,\frac{M_E\, m}{R_E^2} \]
m کنسل میشه (که خودش یه نکتهی عمیقه: جرم گرانشی همون جرم اینرسی ـه — اصل همارزی). حل برای M_E:
\[ \boxed{M_E = \frac{g R_E^2}{G}} \]
اعداد:
g = 9.80 m/s²R_E = 6.371 × 10⁶ mG = 6.674 × 10⁻¹¹ N·m²/kg²
\[ M_E = \frac{9.80 \cdot (6.371 \times 10^6)^2}{6.674 \times 10^{-11}} = \frac{9.80 \cdot 4.06 \times 10^{13}}{6.674 \times 10^{-11}} \approx 5.97 \times 10^{24}\ \mathrm{kg} \]
جرم زمین ≈ ۶ × ۱۰²⁴ کیلوگرم. حساب شد — بدون اینکه زمین رو روی هر ترازویی بذاریم.
گام ۲ — چگالی زمین و پیامدهای زمینشناختی
جرم تقسیم بر حجم زمین:
\[ \rho_E = \frac{M_E}{(4/3)\pi R_E^3} = \frac{5.97 \times 10^{24}}{(4/3)\pi (6.371 \times 10^6)^3} \]
\[ \rho_E \approx \frac{5.97 \times 10^{24}}{1.083 \times 10^{21}} \approx 5510\ \mathrm{kg/m^3} \]
یعنی ~۵.۵ برابر چگالی آب. حالا مقایسه کن:
| ماده | چگالی (kg/m³) |
|---|---|
| آب | ۱۰۰۰ |
| گرانیت (سنگ سطحی) | ۲۷۰۰ |
| آلومینیوم | ۲۷۰۰ |
| زمین (متوسط) | ۵۵۰۰ |
| آهن | ۷۸۰۰ |
| سرب | ۱۱۳۰۰ |
سنگ سطحی زمین چگالی ~۲۷۰۰ داره — نصف چگالی متوسط. پس هستهی زمین باید از موادی خیلی چگالتر باشه. این نتیجهی زمینشناختی بنیادین از یه آزمایش فیزیک درآمد: زمین یه هستهی فلزی داره (امروز میدونیم آهن-نیکل ذوبشده در بیرون + جامد در درون).
اگه کاوندیش G رو نمیداد، این کشف ممکن نبود. علم زمین به علم گرانش وابستهست.
گام ۳ — عدد g از کجا میآد؟
حالا معادله رو معکوس کن. اگه M_E و R_E و G رو داشته باشیم، g چقدر باید باشه؟
\[ g = \frac{G M_E}{R_E^2} \]
با اعداد:
\[ g = \frac{6.674 \times 10^{-11} \cdot 5.97 \times 10^{24}}{(6.371 \times 10^6)^2} = \frac{3.98 \times 10^{14}}{4.06 \times 10^{13}} \approx 9.81\ \mathrm{m/s^2} \]
تطابق! این نه یه اتفاق ـه، نه دور ـه — چون M_E رو خودمون از g گرفتیم. ولی نکته اینه: اگه یه سیارهی دیگه رو در نظر بگیری، همون فرمول با M و R اون سیاره جواب میده. ماه:
\[ g_\text{moon} = \frac{G M_\text{moon}}{R_\text{moon}^2} = \frac{6.674 \times 10^{-11} \cdot 7.35 \times 10^{22}}{(1.737 \times 10^6)^2} \approx 1.62\ \mathrm{m/s^2} \]
که همون ~۱/۶ گرانش زمین ـه — چرا فضانوردان آپولو میتونستن بپرن.
مریخ: g_Mars ≈ 3.7 m/s² (~۰.۳۸g).
مشتری (روی «سطح ابری»): g_J ≈ 24.8 m/s² (~۲.۵g).
گام ۴ — g با ارتفاع تغییر میکنه
g نه یه عدد ثابت طبیعی ـه، نه یه ویژگی جسمی. یه محاسبهی محلی ـه — بستگی به فاصله از مرکز زمین داره. بالای سطح زمین به ارتفاع h:
\[ g(h) = \frac{G M_E}{(R_E + h)^2} \]
میشه این رو به شکل زیبایی نوشت. با تعریف g_0 = GM_E/R_E² (گرانش سطحی):
\[ g(h) = g_0 \cdot \left(\frac{R_E}{R_E + h}\right)^2 = \frac{g_0}{(1 + h/R_E)^2} \]
مثالها
قلهی اورست (h ≈ 8850 m):
\[ h/R_E = 8850 / 6.371 \times 10^6 \approx 1.39 \times 10^{-3} \]
\[ g(\text{Everest}) \approx \frac{9.81}{(1.00139)^2} \approx 9.81 \cdot 0.9972 \approx 9.783\ \mathrm{m/s^2} \]
تفاوت با سطح دریا: فقط ~۰.۳٪ یا حدود 0.03 m/s². یه کوهنورد در قله، حدود ۰.۳ درصد سبکتر ـه از سطح دریا — یعنی برای فرد ۸۰ کیلوگرمی، حدود ۲۴۰ گرم. کم بهنظر میرسه ولی برای رکوردهای دو و میدانی قابل اندازهگیری ـه.
ایستگاه فضایی بینالمللی ISS (h ≈ 400 km):
\[ h/R_E = 4 \times 10^5 / 6.371 \times 10^6 \approx 0.0628 \]
\[ g(\text{ISS}) \approx \frac{9.81}{(1.0628)^2} \approx 8.68\ \mathrm{m/s^2} \]
حدود ۸۸٪ گرانش سطحی! پس چرا فضانوردان توی ISS «بیوزن» بهنظر میرسن؟ چون در حال سقوط آزاد ـن — ISS داره دائماً به سمت زمین «میافته»، ولی حرکت افقیش اونقدر زیاده که همیشه از سطح زمین رد میشه. این «مدار» ـه.
بیوزنی توی ISS به معنی «نبود گرانش» نیست — به معنی «تعادل با نیروی سانتریفوگ در چارچوب چرخان» ـه، یا معادلاً: هم فضانورد و هم ایستگاه با شتاب یکسان میافتن. (اصل همارزی دوباره!)
سطح ماه (فاصلهی ماه از زمین r ≈ 384000 km):
\[ h/R_E \approx 60.3\quad\Rightarrow\quad g_\text{at moon} \approx \frac{9.81}{60.3^2 + \ldots} \approx 0.0027\ \mathrm{m/s^2} \]
(همون عدد پیوست ۱ برای «تست ماه» نیوتون — بازتاب همون فیزیک، فقط از دیدگاه دیگری.)
تقریب برای ارتفاع کم
برای h ≪ R_E، میشه از بسط دو جملهای استفاده کرد:
\[ (1 + h/R_E)^{-2} \approx 1 - 2h/R_E \]
\[ g(h) \approx g_0 \left(1 - \frac{2h}{R_E}\right) \]
با g_0 = 9.81, R_E = 6.371 × 10⁶ m:
\[ \Delta g = g_0 \cdot \frac{2h}{R_E} \approx 3.08 \times 10^{-6}\ h\ (\mathrm{h\ in\ m}) \]
یعنی به ازای هر متر بالا رفتن، g حدود 3 × 10⁻⁶ m/s² کم میشه. برای طبقهی ۳۰ یه ساختمون (h ≈ 100 m)، تغییر g حدود 3 × 10⁻⁴ m/s² ـه — یعنی ~۳۰ ppm. ترازوهای دقیق این رو حس میکنن.
گام ۵ — انرژی پتانسیل گرانشی
روی سطح زمین با تقریب g ثابت، فرمول انرژی پتانسیل رو دبیرستان بهمون داد:
\[ U = m g h \]
ولی این فقط برای ارتفاع کم (که g تقریباً ثابته) درست ـه. برای ماهوارهها یا فرار از زمین چه؟ به فرمول کامل نیاز داریم. با استفاده از تعریف کار (اگه انتگرال رو کامل مسلط نیستی، مقالهی انتگرال معین رو ببین):
\[ U(r) - U(\infty) = -\int_\infty^r F\, dr' = -\int_\infty^r \left(-\frac{G M m}{r'^2}\right) dr' = -G M m \left[\frac{1}{r'}\right]_\infty^r \]
با گرفتن U(∞) = 0 (توافقی معمول برای بینهایت دور، بیگرانشی):
\[ \boxed{U(r) = -\frac{G M m}{r}} \]
سه نکته:
- علامت منفی یعنی جسم بهطور کلی «به دام» گرانش زمین ـه — برای فرار به سمت بینهایت، انرژی مثبت باید بدی.
- ابتدای مرجع دلخواه ـه. ما اینجا
U(∞) = 0گرفتیم. برای مسائل نزدیک سطح،U(R_E) ≈ -GMm/R_Eمیشه — که یه عدد بزرگ و منفی ـه، ولی فقط تفاوتها اهمیت دارن. - رابطه با
mgh: برای ارتفاع کمh ≪ R،U(R+h) - U(R) = GMm(1/R - 1/(R+h)) ≈ GMmh/R² = mgh. پسmghیه تقریب سطحی ازU = -GMm/rـه.
گام ۶ — سرعت فرار
سؤال: برای اینکه یه جسم از سطح زمین «فرار کنه» (به بینهایت بره و برنگرده)، حداقل چه سرعتی لازمه؟
از پایستگی انرژی. در آغاز:
- انرژی جنبشی:
(1/2)mv² - انرژی پتانسیل:
-GMm/R
در بینهایت (حداقل انرژی برای «رسیدن»):
- انرژی جنبشی:
0(بهطور نامناسب) - انرژی پتانسیل:
0(بهطور نامناسب)
پایستگی:
\[ \frac{1}{2} m v_\text{esc}^2 - \frac{G M m}{R} = 0 \]
\[ \boxed{v_\text{esc} = \sqrt{\frac{2 G M}{R}}} \]
برای زمین:
\[ v_\text{esc} = \sqrt{\frac{2 \cdot 6.674 \times 10^{-11} \cdot 5.97 \times 10^{24}}{6.371 \times 10^6}} \approx \sqrt{1.25 \times 10^8} \approx 11.2\ \mathrm{km/s} \]
۱۱.۲ km/s — یعنی هر جسمی که با این سرعت (یا بیشتر) از سطح زمین به بالا شلیک بشه، هرگز برنمیگرده. سرعت راکتهای ماه Apollo از این کمتر بود چون فقط تا مدار زمین میرفتن، نه فرار کامل.
برای ماه: v_esc ≈ 2.4 km/s (چون M کمه)
برای مریخ: v_esc ≈ 5.0 km/s
برای مشتری: v_esc ≈ 59.5 km/s (شش برابر زمین!)
چه چیزی رو باید یاد گرفته باشی
بعد از این پیوست باید بتونی:
- جرم زمین رو با
M_E = gR²/Gاز سه اندازهگیری قابلدسترس محاسبه کنی - چگالی زمین رو بسنجی و از تفاوتش با سنگ سطحی، وجود هستهی فلزی رو استنتاج کنی
- عدد
g ≈ 9.8رو از قانون جهانی گرانش استخراج کنی و برای هر سیارهی دیگهای همون کار رو بکنی g(h) = g₀·R²/(R+h)²رو بنویسی و مقادیر روی قلهها، ISS، سطح ماه رو حساب کنی- توضیح بدی چرا فضانوردان ISS «بیوزن» بهنظر میرسن با وجود گرانش حدود
88% U(r) = -GMm/rرو از انتگرال نیرو مشتق کنی و نشون بدی چراmghفقط برای ارتفاع کم درسته- سرعت فرار رو از پایستگی انرژی استخراج کنی و برای اجرام مختلف حساب کنی
نتیجهگیری
سه مقالهای که خوندیم، یه قصهی سه قرن رو کامل کردن:
- نیوتون شکل قانون رو داد
- کاوندیش عدد G رو داد
- بقیهی ما با یه ضرب و تقسیم، بقیه رو گرفتیم
مسیر از F = GMm/r² تا سرعت فرار بدون اینکه به جهانی خارج از زمین سفر کنیم طی شد. این نمونهی زیبایی از قدرت فیزیک ـه: قوانین کوچیک، پیامدهای غولآسا.
📚 مرجع اصلی: Isaac Newton (1687) + Henry Cavendish (1798) — هر دو در Principia و Philosophical Transactions. 📖 مرجع آزاد: OpenStax University Physics Vol 1 — §13.2: Gravitation Near Earth's Surface و §13.4: Gravitational Potential Energy and Total Energy. 📖 Feynman Lectures Vol I — Ch 7: The Theory of Gravitation.
سوالی دارید؟ 🤔
اگه مفهومی نامشخص بود یا سوالی داشتید، اینجا بپرسید. جوابتون در اینجا منتشر میشه.