هفت مسئله که همهی ابزارهای فصل ۲ رو تست میکنن. هر مسئله با یه سناریو مشخص شروع میشه، و راهحل کامل قدمبهقدم داده میشه — با این تأکید که کدوم بخش §۲.x کمک میکنه و چرا اون فرمول انتخاب میشه. اگه از ابزار مشخصی سردرگم شدی، لینک برو به بخش مرتبط.
مسئله ۱ — مسافت پیک نیک (§۲.۱)
سناریو: یه دوچرخهسوار از خانه به سمت شمال حرکت میکنه. در ۳۰ دقیقهی اول ۶ کیلومتر میره. بعد ۱۰ دقیقه استراحت. سپس ۴ کیلومتر برمیگرده و در پارک استراحت میکنه. حالا محاسبه کن:
الف) جابهجایی کل
ب) مسافت کل پیمودهشده
پ) سرعت متوسط
ت) تندی متوسط
راهحل:
محور: شمال مثبت. مبدأ = خانه. زمان کل: 30 + 10 + t_2 = ? (نمیدونیم ولی نیاز نداریم فعلاً).
جابهجایی: فقط به موقعیت ابتدا/انتها بستگی داره: \[ \Delta x = x_\text{park} - x_\text{home} = (6 - 4) - 0 = +2\ \mathrm{km} \]
مسافت: جمع طول هر بازه: \[ d = 6 + 4 = 10\ \mathrm{km} \]
(استراحت مسافت اضافه نمیکنه چون ساکن ـه)
برای سرعتهای متوسط، فرض کنیم بازهی برگشت 20 min طول کشیده. زمان کل = 30 + 10 + 20 = 60 min = 1 h.
\[ v_\text{avg} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{2\ \mathrm{km}}{1\ \mathrm{h}} = 2\ \mathrm{km/h} \]
\[ s_\text{avg} = \frac{d}{\Delta t} = \frac{10\ \mathrm{km}}{1\ \mathrm{h}} = 10\ \mathrm{km/h} \]
بینش: سرعت متوسط 2 ولی تندی متوسط 10 — پنج برابر! چون دوچرخهسوار بیشتر مسیر رو رفت و برگشت. مسافت و جابهجایی میتونن خیلی متفاوت باشن.
مسئله ۲ — سرعت لحظهای از یه تابع (§۲.۲)
سناریو: یه ذره روی محور x حرکت میکنه و موقعیتش:
\[ x(t) = 4 t^3 - 6 t^2 + 2 t\quad (\mathrm{m},\ t\ \text{در ثانیه}) \]
الف) سرعت در t = 0.5 s چقدر ـه؟
ب) چه لحظهای ذره لحظهای میایسته؟
پ) شتاب در اون لحظه چقدره؟
راهحل:
مشتق برای سرعت: \[ v(t) = \frac{dx}{dt} = 12 t^2 - 12 t + 2 \]
الف) در t = 0.5:
\[ v(0.5) = 12 \cdot 0.25 - 12 \cdot 0.5 + 2 = 3 - 6 + 2 = -1\ \mathrm{m/s} \]
علامت منفی — داره به عقب میره.
ب) لحظهی ایست: v = 0.
\[ 12 t^2 - 12 t + 2 = 0 \Rightarrow 6 t^2 - 6 t + 1 = 0 \]
\[ t = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{12} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{12} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{12} \]
\[ t_1 = \frac{6 - 2\sqrt{3}}{12} \approx 0.211\ \mathrm{s},\quad t_2 = \frac{6 + 2\sqrt{3}}{12} \approx 0.789\ \mathrm{s} \]
دو نقطهی چرخش — یکی موقع تغییر جهت به عقب، یکی موقع برگشت به جلو.
پ) شتاب: \[ a(t) = \frac{dv}{dt} = 24 t - 12 \]
در t_1 ≈ 0.211: a ≈ 5.07 - 12 = -6.93 m/s² (به عقب — شروع برگشت به عقب)
در t_2 ≈ 0.789: a ≈ 18.93 - 12 = +6.93 m/s² (به جلو — شروع برگشت به جلو)
بینش: شتاب در لحظهی ایست صفر نیست. اگه بود، ذره همونجا میموند. §۲.۳ اینو یاد داد.
مسئله ۳ — مسافت توقف در دو سرعت (§۲.۴)
سناریو: یه راننده تازهکار میخواد بدونه اگه در 50 km/h بتونه در 12 m بایسته، در 100 km/h (دو برابر سریعتر) چقدر مسافت لازم داره؟ فرض کن قدرت ترمز (شتاب) در هر دو حالت یکسانه.
راهحل:
از §۲.۴ معادله ۳ (بدون زمان): v² = v_0² + 2a(x - x_0). با v = 0 (توقف):
\[ x_\text{stop} = \frac{v_0^2}{2|a|} \]
نکته: مسافت با مربع سرعت متناسبه. پس نسبت: \[ \frac{x_\text{stop}(100)}{x_\text{stop}(50)} = \left(\frac{100}{50}\right)^2 = 4 \]
\[ x_\text{stop}(100) = 4 \cdot 12 = 48\ \mathrm{m} \]
بینش: دو برابر سرعت = چهار برابر مسافت توقف. یعنی اگه راننده در جادهی مهآلود در 100 km/h میره و میبینه ماشین جلویی در 40 m جلوش ترمز کرده، زمان کافی برای واکنش نداره — حتی اگه دستش روی ترمز باشه. این یه واقعیت فیزیک ـه، نه انتخاب رانندگی.
مسئله ۴ — پرتاب توپ به سقف (§۲.۵)
سناریو: توپی رو از ارتفاع y_0 = 1 m بالای زمین با سرعت اولیه v_0 = 8 m/s مستقیم به بالا پرتاب میکنی. سقف اتاق در ارتفاع y = 3.5 m ـه.
الف) آیا توپ به سقف میرسه؟
ب) اگه رسید، چه سرعتی داره وقتی به سقف میخوره؟
پ) کِی به سقف میرسه؟
راهحل:
محور: بالا مثبت. a = -g = -9.8 m/s².
الف) بررسی رسیدن به سقف:
اول حداکثر ارتفاع ممکن رو حساب کن. در نقطهی اوج، v = 0. از معادله ۳:
\[ 0 = 8^2 - 2 \cdot 9.8 \cdot (y_\text{max} - 1) \]
\[ y_\text{max} = 1 + \frac{64}{19.6} \approx 1 + 3.27 = 4.27\ \mathrm{m} \]
۴.۲۷ > ۳.۵ — بله، به سقف میرسه. با فاصلهی حدود ۰.۷۷ متر ذخیره.
ب) سرعت در ارتفاع سقف: از معادله ۳ با y = 3.5:
\[ v^2 = 8^2 - 2 \cdot 9.8 \cdot (3.5 - 1) = 64 - 49 = 15 \]
\[ v = \pm\sqrt{15} \approx \pm 3.87\ \mathrm{m/s} \]
توپ در حال بالا رفتن ـه (چون فقط اولین باره سقف میبینه)، پس v = +3.87 m/s.
پ) زمان رسیدن به سقف: از معادله ۱: \[ 3.87 = 8 - 9.8 t \Rightarrow t = \frac{8 - 3.87}{9.8} \approx 0.42\ \mathrm{s} \]
بینش: توپ در کمتر از نیم ثانیه به سقف میرسه — سریعتر از اونکه فکر میکنی. و توپ سعی میکنه بالاتر از سقف بره — پس با سقف برخورد میکنه. اگه سقف بلندتر بود (مثلاً 5 m)، جواب «نه» میشد.
مسئله ۵ — قطار در سرعت متغیر (§۲.۶)
سناریو: یه قطار از ایستگاه A حرکت میکنه. نمودار v-t نشون میده:
[0, 60]s: شتاب ثابت — سرعت از0به30 m/sمیرسه[60, 240]s: سرعت ثابت30 m/s(سرعت کروز)[240, 300]s: ترمز خطی — سرعت به0میرسه
فاصلهی ایستگاه A تا ایستگاه B چقدره؟
راهحل:
از §۲.۶: مساحت زیر v-t = جابهجایی. سه تکه رو جدا حساب کن:
تکه ۱ (شتاب): مثلث با قاعده 60 s و ارتفاع 30 m/s:
\[ A_1 = \frac{1}{2} \cdot 60 \cdot 30 = 900\ \mathrm{m} \]
تکه ۲ (کروز): مستطیل با قاعده 180 s و ارتفاع 30 m/s:
\[ A_2 = 180 \cdot 30 = 5400\ \mathrm{m} \]
تکه ۳ (ترمز): مثلث با قاعده 60 s و ارتفاع 30 m/s:
\[ A_3 = \frac{1}{2} \cdot 60 \cdot 30 = 900\ \mathrm{m} \]
فاصلهی کل: \[ d = 900 + 5400 + 900 = 7200\ \mathrm{m} = 7.2\ \mathrm{km} \]
بینش: بدون حتی نوشتن یه معادله. فقط از هندسهی نمودار. این قدرت §۲.۶ ـه.
مسئله ۶ — دو ماشین در بزرگراه (§۲.۳ + §۲.۴)
سناریو: ماشین A با سرعت ثابت 25 m/s روی بزرگراه ـه. ماشین B که پشتش با فاصلهی 50 m ـه، از سرعت 20 m/s شروع میکنه به شتاب گرفتن با a = 1.5 m/s². چه زمانی ماشین B ماشین A رو میگیره (یعنی از کنارش رد میکنه)؟
راهحل:
محور مثبت جلو. مبدأ = موقعیت اولیهی ماشین B. زمان t = 0 = شروع شتاب B.
موقعیت هر ماشین:
ماشین A (سرعت ثابت 25):
\[ x_A(t) = 50 + 25 t \]
(چون در t=0 جلوی B با فاصلهی 50 m ـه)
ماشین B (شتاب 1.5 از سرعت 20):
\[ x_B(t) = 20 t + \frac{1}{2} \cdot 1.5 \cdot t^2 = 20 t + 0.75 t^2 \]
شرط گرفتن: x_A = x_B:
\[ 50 + 25 t = 20 t + 0.75 t^2 \]
\[ 0.75 t^2 - 5 t - 50 = 0 \]
ضرب در 4/3 برای ساده شدن:
\[ t^2 - \frac{20}{3} t - \frac{200}{3} = 0 \]
از فرمول ریشهها: \[ t = \frac{20/3 \pm \sqrt{(20/3)^2 + 800/3}}{2} = \frac{20/3 \pm \sqrt{400/9 + 800/3}}{2} \]
\[ = \frac{20/3 \pm \sqrt{400/9 + 2400/9}}{2} = \frac{20/3 \pm \sqrt{2800/9}}{2} = \frac{20/3 \pm 17.63}{2} \]
جواب مثبت: \[ t \approx \frac{6.67 + 17.63}{2} \approx 12.2\ \mathrm{s} \]
بینش: حدود ۱۲ ثانیه. در این لحظه، سرعت B: \[ v_B = 20 + 1.5 \cdot 12.2 = 38.3\ \mathrm{m/s} \]
یعنی B با سرعت 13 m/s بیشتر از A از کنارش رد میشه. فاصلهی طیشده توسط B: \[ x_B = 20 \cdot 12.2 + 0.75 \cdot 148.8 \approx 244 + 112 = 356\ \mathrm{m} \]
فاصلهی طیشده توسط A: 25 \cdot 12.2 = 305 m. تفاوت: 356 - 305 = 51 m — که همون فاصلهی اولیهی ۵۰ متری ـه (با گرد کردن). ✓
مسئله ۷ — انتگرال با شتاب متغیر (§۲.۶)
سناریو: یه راکت از سکون شروع میکنه. شتابش با زمان کاهش پیدا میکنه (چون سوخت داره تموم میشه): \[ a(t) = a_0\, e^{-t/\tau} \]
با a_0 = 20 m/s² و τ = 10 s (زمان مشخصهی تخلیهی سوخت).
الف) سرعت راکت وقتی t → ∞؟
ب) موقعیتش در t = 30 s؟
راهحل:
الف) سرعت نهایی: \[ v(t) = \int_0^t a_0 e^{-t'/\tau} dt' = a_0 \tau \left(1 - e^{-t/\tau}\right) \]
در t → ∞، e^{-t/τ} → 0:
\[ v_\infty = a_0 \tau = 20 \cdot 10 = 200\ \mathrm{m/s} \]
سرعت پایانی ۲۰۰ m/s — حتی با ادامهدار بودن شتاب (بهتدریج کاهشیابنده)، سرعت به یه حد میرسه.
ب) موقعیت در t = 30 s:
\[ x(t) = \int_0^t v(t')\, dt' = \int_0^t a_0 \tau (1 - e^{-t'/\tau}) dt' \]
\[ = a_0 \tau \left[t + \tau e^{-t/\tau} - \tau\right] \]
\[ = a_0 \tau^2 \left[\frac{t}{\tau} - 1 + e^{-t/\tau}\right] \]
در t = 30، t/τ = 3، e^{-3} ≈ 0.05:
\[ x(30) = 20 \cdot 100 \cdot [3 - 1 + 0.05] = 2000 \cdot 2.05 = 4100\ \mathrm{m} \]
بینش: در 30 s، راکت ۴.۱ کیلومتر رفته و سرعتش تقریباً به 200 m/s رسیده (v(30) ≈ 200(1 - 0.05) ≈ 190 m/s). اگه شتاب ثابت 20 m/s² بود (بدون کاهش)، در همون زمان 30 s سرعت 600 m/s میشد و فاصله 9000 m. کاهش شتاب اثر بزرگی داره.
نکتهی پایانی: استراتژی ۵-مرحلهای
هر مسئله رو با این ۵ قدم حل کن:
- رسم: یه دیاگرام سریع بکش با محور، جهت مثبت، مبدأ. حتی برای مسائل ساده.
- معلوم/مطلوب: بنویس چی میدونی و چی میخوای.
- بخش: تشخیص بده کدوم بخش از §۲.x کمک میکنه. آیا شتاب ثابته؟ آیا زمان توی مسئله هست؟
- معادله: اونی که متغیر گمشده رو نداره انتخاب کن (§۲.۴ جدول).
- بررسی: بعد از حل، عقلانی بودن جواب (یکاها، مقدار، علامت) رو تست کن. اگه جوابت
-500 m/sبرای یه دوچرخهسوار در حال حرکت باشه، اشتباه شده.
پیشنمایش §۲.۸
حالا نوبت تمرین ـه — مسائل بدون راهحل قدمبهقدم که خودت حل کنی. سطحهای مختلف: ساده، متوسط، چالشی. §۲.۸ ~۲۰ مسئله میده که همهی ابزارهای فصل ۲ رو در سناریوهای جدید تست میکنن.
📚 همچنین ببین: Halliday Vol 1, Ch 2 — Worked Examples. 📖 مرجع آزاد: OpenStax University Physics Vol 1 — Chapter 3 Solved Examples.
سوالی دارید؟ 🤔
اگه مفهومی نامشخص بود یا سوالی داشتید، اینجا بپرسید. جوابتون در اینجا منتشر میشه.