قضیه‌ی کار-انرژی جنبشی — پلِ زیبای بینِ نیرو و انرژی

چرا یکای «کار» و «انرژی» هر دو ژوله؟ تصادفی نیست 😎. کار و انرژی جنبشی با یه معادله‌ی زیبا بهم وصل‌اند: کارِ کل روی یه جسم، دقیقاً برابرِ تغییرِ انرژی جنبشیِ اونه. اثبات این قضیه از قانونِ دومِ نیوتون در چند خط بیرون میاد.

ایده‌ی اصلی در یه پاراگراف 📌

قضیه‌ی کار-انرژی جنبشی: $W_text{کل} = Delta K = K_f – K_i = tfrac{1}{2}m v_f^2 – tfrac{1}{2}m v_i^2$. کارِ مثبت روی جسم = افزایشِ سرعت، کارِ منفی (مثلِ اصطکاک) = کاهشِ سرعت، کارِ صفر = سرعت ثابت. این قضیه یه میان‌بُر قدرتمنده — به‌جای حل معادله‌ی حرکتِ برداری، مستقیم با انرژی نرده‌ای کار می‌کنیم. تمامِ کاربردهای فاصله‌ی ترمز، انرژیِ جذب‌شده در تصادف، طراحیِ کیسه‌ی هوا، از این یه معادله میان.

اثبات — از قانون دوم نیوتون 🧮

نیروی خالصِ ثابت $F$ روی جسم به مسافتِ $d$. طبق قانون دوم: $F = ma$. سرعت هم با معادله‌ی سینماتیک: $v_f^2 = v_i^2 + 2a d$، یعنی $ad = tfrac{1}{2}(v_f^2 – v_i^2)$. حالا کارِ نیروی خالص:

$$W_text{کل} = F d = m a d = m cdot tfrac{1}{2}(v_f^2 – v_i^2) = tfrac{1}{2}m v_f^2 – tfrac{1}{2}m v_i^2 = Delta K$$

QED. سه خط، از نیوتون به قضیه‌ی کار-انرژی 🎯.

فرمولِ اصلی 📐

$$boxed{W_text{کل} = Delta K = tfrac{1}{2}m v_f^2 – tfrac{1}{2}m v_i^2}$$

$W_text{کل}$: مجموعِ کارِ همه‌ی نیروها (= کارِ نیروی خالص)
$v_i$: سرعتِ اولیه، $v_f$: سرعتِ نهایی

چرا این قضیه ارزشمنده؟ 💎

با معادله‌های حرکت	با قضیه‌ی کار-انرژی
برداری (جهت مهمه)	نرده‌ای (فقط اندازه)
نیاز به زمان $t$ داره	زمان لازم نیست
برای مسیرِ منحنی سخته	مستقلِ مسیر است
باید شتاب رو بفهمی	فقط ابتدا و انتها لازمه

نمونه: توپی ۲ کیلویی از ارتفاعِ ۵ متر آزادانه سقوط می‌کنه. سرعتش موقعِ رسیدن به زمین چقدره؟

راه سنّتی: $v = sqrt{2gh} = sqrt{2 times 9.8 times 5}$
راه انرژی: کارِ گرانش = $mgh = 2 times 9.8 times 5 = 98$ J. این $= Delta K = tfrac{1}{2}(2)v^2$. پس $v^2 = 98$، $v = 9.9$ m/s. همون جواب، مسیرِ کوتاه‌تر.

مثالِ کاربردی — فاصله‌ی ترمز 🚗

خودرویی $1500$ kg با سرعتِ $v = 90$ km/h = $25$ m/s ترمز می‌کنه. نیروی ترمز $f = 6000$ N. فاصله‌ی توقف؟

انرژی جنبشی اولیه: $K_i = tfrac{1}{2}(1500)(25)^2 = 468{,}750$ J.
انرژی نهایی: $K_f = 0$.
کارِ ترمز: $W_text{ترمز} = -f cdot d$ (چون مخالفِ حرکته).

قضیه: $-fd = 0 – K_i Rightarrow d = K_i/f = 468{,}750/6{,}000 = 78$ m.

نتیجه‌ی مهم: فاصله‌ی توقف $propto v^2$! دو برابر کردنِ سرعت = چهار برابر شدنِ فاصله‌ی ترمز. برای همین سرعتِ ۱۲۰ km/h فاصله‌ی خیلی بلندتری نسبت به ۶۰ km/h می‌خواد.

کاربردِ زندگی-نجات‌ده: کیسه‌ی هوا 🎈

تو تصادف، بدن‌ت انرژی جنبشیِ زیادی داره که باید صفر شه. کار = نیرو × جابه‌جایی:

$$|F| = frac{K_i}{d}$$

بدون کیسه‌ی هوا: فاصله‌ی توقف رو فرمان ~۵ cm → نیرو بزرگ → آسیبِ جدی
با کیسه‌ی هوا: فاصله ~۳۰ cm → نیرو ۶ برابر کوچک‌تر → آسیبِ کمتر

فیزیک، جونت رو نجات می‌ده 🎯.

مثالِ منفی — کارِ اصطکاک 🛑

هاکی‌بازی توپی رو با سرعتِ $10$ m/s رو یخ می‌ندازه. ضریب اصطکاک $mu = 0.05$. توپ چقدر می‌ره تا بایسته؟

نیروی اصطکاک: $f = mu m g$. کارِ اصطکاک تا مسافتِ $d$: $W_f = -mu m g d$.
قضیه: $-mu m g d = 0 – tfrac{1}{2}m v_i^2$
$$d = frac{v_i^2}{2 mu g} = frac{100}{2 times 0.05 times 9.8} = 102 text{m}$$

جالبه — جرمِ توپ حذف شد! فاصله فقط به سرعت و ضریب اصطکاک بستگی داره.

تحلیل با پایتون 🐍

۱) فاصله‌ی ترمز — رابطه‌ی مربعی با سرعت

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

m = 1500       # kg
f_brake = 6000 # N نیروی ترمز
v_kmh = np.linspace(20, 150, 100)
v_ms = v_kmh * 1000/3600

# از قضیه: d = K/f = (0.5·m·v²) / f
d = 0.5 * m * v_ms**2 / f_brake

plt.plot(v_kmh, d)
plt.xlabel('سرعت (km/h)'); plt.ylabel('فاصله‌ی ترمز (m)')
plt.title('فاصله‌ی ترمز خودرو ۱۵۰۰ کیلویی')
plt.grid(); plt.savefig('brake_distance.png', dpi=120)

for speed in [30, 60, 90, 120]:
    v_ms = speed * 1000/3600
    d_stop = 0.5 * m * v_ms**2 / f_brake
    print(f"سرعت {speed:3d} km/h → فاصله {d_stop:.1f} m")
# 30 → 8.7 m, 60 → 34.7 m, 90 → 78.1 m, 120 → 138.9 m

۲) شبیه‌سازیِ سقوطِ آزاد و بررسیِ قضیه

import numpy as np

m, g = 2.0, 9.8      # kg، m/s²
h = 5.0               # ارتفاع سقوط
v_i = 0

# کارِ گرانش
W_grav = m * g * h
print(f"کارِ گرانش = {W_grav:.1f} J")   # 98 J

# قضیه: W = ΔK ⇒ v_f
v_f = np.sqrt(2 * W_grav / m)
print(f"سرعت زمین‌خوردن = {v_f:.2f} m/s")   # 9.9 m/s

# مقایسه با روش سینماتیک
v_kin = np.sqrt(2 * g * h)
print(f"از سینماتیک = {v_kin:.2f} m/s")   # همون 9.9

# چک: کاملاً برابر
assert abs(v_f - v_kin) < 1e-9
print("✓ قضیه و سینماتیک مطابق‌اند")

۳) ترکیبِ چند نیرو — یخ + اصطکاک

import numpy as np

def stopping_distance(v0, mu, g=9.8):
    """فاصله‌ی توقف رو یخ با ضریب اصطکاک mu."""
    return v0**2 / (2*mu*g)

# جدولِ مقایسه‌ای برای سطوح مختلف
surfaces = {"یخِ صاف": 0.02, "یخِ ناهموار": 0.05,
            "چوب خیس": 0.15, "آسفالتِ خشک": 0.7}

v0 = 10   # m/s (~36 km/h)
for name, mu in surfaces.items():
    d = stopping_distance(v0, mu)
    print(f"{name:15s} μ={mu:.2f} → فاصله = {d:5.1f} m")
# یخ صاف 255 m، یخ ناهموار 102 m، چوب 34 m، آسفالت 7 m

جمع‌بندیِ خودمونی 🎁

$W_text{کل} = Delta K$ — پنج نماد، یه دنیا استفاده. یه راهِ سریع‌تر از حرکت‌شناسیِ برداری برای مسائل. فاصله‌ی ترمز $propto v^2$. کیسه‌ی هوا نیرو رو با افزایشِ فاصله کم می‌کنه. کارِ اصطکاک همیشه منفیه. یه پل بینِ نیرو و انرژی 😎.

جعبه‌ی «جالبه که بدونی»: قهرمانِ ترمز 💡

سریع‌ترین ماشینِ فرمولِ یک، سرعتِ اوجش ~۳۷۵ km/h ـه. با کیفیتِ فوق‌العاده‌ی ترمزهای کربنی و بالای بال (downforce)، می‌تونه از این سرعت به صفر در ۴ ثانیه برسه. راننده حین این ترمز حدودِ $5g$ شتابِ منفی تجربه می‌کنه — یعنی وزنِ ظاهریش ۵ برابر می‌شه! این ~۴۵۰ کیلوگرم فشار روی گردنه. برای همین راننده‌های F1 گردن‌های خیلی قوی دارن. قضیه‌ی کار-انرژی به‌سختی روی گردنِ راننده اعمال می‌شه.

خودتو بسنج 📝

منابع و کاوشِ بیشتر 📚

مقالات و مرجع

ویکی‌پدیای فارسی: قضیه کار و انرژی جنبشی
Wikipedia EN: Work–energy theorem، Braking distance، Airbag
HyperPhysics — Work-Energy Theorem
Feynman Lectures — Vol. I, Ch. 14: Work and Potential Energy (concluded)

ویدئو (یوتیوب)

MIT OCW 8.01 Walter Lewin: Work-energy theorem, examples
Veritasium: Why airbags save lives
3Blue1Brown: Energy methods vs. Newton’s second law
Real Engineering: Formula 1 braking physics

ویدئو (آپارات — فارسی)

شبیه‌ساز خارجی

روی همین سایت 🔗

تو بخشِ بعدی سراغِ نوعِ دیگه‌ای از انرژی می‌ریم که «ذخیره» می‌شه: انرژی پتانسیل 🏔️. چرا سنگی بالای کوه انرژی داره حتی وقتی ساکنه؟ می‌بینمت 👋

⚙️ شبیه‌سازی: قضیه کار-انرژی جنبشی

نیرو، جابه‌جایی و زاویه نیرو را تغییر دهید و ببینید چطور کار انجام‌شده به انرژی جنبشی تبدیل می‌شود.

نمایش کد Python


# PM_PARAMS_JSON: [{“id”:”F”,”label”:”نیرو F (N)”,”label_en”:”Force F (N)”,”min”:0,”max”:200,”step”:5,”default”:50,”unit”:”N”},{“id”:”d”,”label”:”جابه‌جایی d (m)”,”label_en”:”Displacement d (m)”,”min”:0.5,”max”:20,”step”:0.5,”default”:5,”unit”:”m”},{“id”:”m”,”label”:”جرم m (kg)”,”label_en”:”Mass m (kg)”,”min”:1,”max”:50,”step”:1,”default”:10,”unit”:”kg”},{“id”:”v0″,”label”:”سرعت اولیه v₀ (m/s)”,”label_en”:”Initial velocity v₀ (m/s)”,”min”:0,”max”:20,”step”:0.5,”default”:0,”unit”:”m/s”},{“id”:”theta”,”label”:”زاویه نیرو θ (°)”,”label_en”:”Force angle θ (°)”,”min”:0,”max”:90,”step”:5,”default”:0,”unit”:”°”}]

import numpy as np, matplotlib

matplotlib.use(‘Agg’)

import matplotlib.pyplot as plt


F     = float(PARAMS.get(“F”,   50.0))

d     = float(PARAMS.get(“d”,    5.0))

m     = float(PARAMS.get(“m”,   10.0))

v0    = float(PARAMS.get(“v0”,   0.0))

theta = float(PARAMS.get(“theta”, 0.0))


F_eff = F * np.cos(np.radians(theta))

W     = F_eff * d

KE_i  = 0.5 * m * v0**2

KE_f  = KE_i + W

v_f   = np.sqrt(max(0, 2 * KE_f / m))


x = np.linspace(0, d, 300)

KE_x = KE_i + F_eff * x

v_x  = np.sqrt(np.maximum(0, 2 * KE_x / m))


fig, axes = plt.subplots(1, 3, figsize=(12, 4.2))


axes[0].plot(x, KE_x, ‘#e74c3c’, lw=2.2, label=’KE(x)’)

axes[0].fill_between(x, KE_x, alpha=0.12, color=’#e74c3c’)

axes[0].axhline(KE_i, color=’gray’, lw=1, ls=’–‘, label=f’KE_i={KE_i:.1f}J’)

axes[0].set_xlabel(‘مکان x (m)’); axes[0].set_ylabel(‘انرژی جنبشی KE (J)’)

axes[0].set_title(‘KE در طول مسیر’); axes[0].legend(fontsize=9); axes[0].grid(alpha=0.3)


axes[1].plot(x, v_x, ‘#0073aa’, lw=2.2)

axes[1].set_xlabel(‘مکان x (m)’); axes[1].set_ylabel(‘سرعت v (m/s)’)

axes[1].set_title(‘سرعت در طول مسیر’); axes[1].grid(alpha=0.3)


cats   = [‘KE اولیهn(J)’, ‘کار Wn(J)’, ‘KE نهاییn(J)’]

vals   = [KE_i, W, KE_f]

colors = [‘#3498db’, ‘#2ecc71’, ‘#e74c3c’]

bars   = axes[2].bar(cats, vals, color=colors, alpha=0.85, edgecolor=’white’, lw=1.5)

axes[2].set_ylabel(‘انرژی (J)’); axes[2].set_title(‘قضیه کار-انرژی  |  W = ΔKE’)

axes[2].grid(axis=’y’, alpha=0.3)

for bar, val in zip(bars, vals):

    axes[2].text(bar.get_x()+bar.get_width()/2, bar.get_height()+0.3, f'{val:.1f}’, ha=’center’, fontsize=9)


fig.suptitle(f’قضیه کار-انرژی  |  W={W:.1f}J  ΔKE={W:.1f}J  v_f={v_f:.2f}m/s’, fontsize=11, fontweight=’bold’)

plt.tight_layout()

for _wx in [0.25, 0.75]:

    for _wy in [0.35, 0.70]:

        fig.text(_wx, _wy, ‘physicsme.ir | منِ‌فیزیکی’, fontsize=10, color=’#a0aabb’, alpha=0.32,

                 ha=’center’, va=’center’, rotation=30, transform=fig.transFigure,

                 fontweight=’bold’, style=’italic’)

fig.text(0.99, 0.01, ‘© physicsme.ir — منِ‌فیزیکی’, fontsize=7.5, color=’#aaa’, alpha=0.85,

         ha=’right’, va=’bottom’, transform=fig.transFigure, fontweight=’bold’)

plt.savefig(‘output.png’, dpi=130, bbox_inches=’tight’)

plt.show()

print(f’W = F·cos(θ)·d = {F}·cos({theta}°)·{d} = {W:.2f} J’)

print(f’v_f = √(2KE_f/m) = {v_f:.3f} m/s’)

سوالی دارید؟ 🤔

اگه مفهومی نامشخص بود یا سوالی داشتید، اینجا بپرسید. جوابتون در اینجا منتشر می‌شه.

💬 جواب بهتری داری؟ یا یه سؤال جدید؟

اگه به سؤالای بالا پاسخی داری که فکر می‌کنی روشن‌تر یا کامل‌تر از مال منه، یا یه سؤال جدید برای دانش‌آموزای دیگه داری — تو بخش نظرات پایین صفحه ارسال کن. هر پیامی رو می‌خونم، تأیید می‌کنم و منتشر می‌شه. این‌جوری همه از تجربه‌ی همدیگه استفاده می‌کنیم. 🌱

برچسب خوردهپایتون, تغییر انرژی, فاصله ترمز, قضیه کار-انرژی, کار کل, کیسه هوا

قضیه‌ی کار-انرژی جنبشی — پلِ زیبای بینِ نیرو و انرژی 🌉