فصل ۱۳ کارتهای یادگیری — گرانش
تعاریف
س۱: قانون جهانی گرانش نیوتن چیست؟ ج: هر دو جسم جرمدار یکدیگر را با نیرویی جاذب میکنند متناسب با حاصلضرب جرمهای آنها و معکوس مربع فاصلۀ میانشان: \( F = G \frac{m_1 m_2}{r^2} \)، که در آن G = 6.674 × 10⁻¹¹ نیوتن·متر²/کیلوگرم² ثابت گرانش است.
س۲: میدان گرانشی را تعریف کنید و معادلۀ آن را بنویسید. ج: میدان گرانشی در یک نقطه، نیروی گرانشی در واحد جرم در آن نقطه است: \( g = \frac{F}{m} = \frac{GM}{r^2} \). این نشان میدهد چگونه جسم M فضای اطراف خود را تأثیر میگذارد. خطوط میدان به سمت منبع جسم اشاره میکنند.
س۳: انرژی پتانسیل گرانشی چیست؟ چگونه تعریف میشود؟ ج: انرژی پتانسیل گرانشی انرژی ذخیرهشدهای است در سیستمی از اجسام ناشی از جدایی آنها. برای دو جسم، \( U = -G \frac{m_1 m_2}{r} \)، که در آن U = 0 در r = ∞. علامت منفی سیستمهای محدود را نشان میدهد.
س۴: پتانسیل گرانشی را تعریف کنید و ارتباط آن را با انرژی پتانسیل توضیح دهید. ج: پتانسیل گرانشی انرژی پتانسیل در واحد جرم است: \( \phi = \frac{U}{m} = -G \frac{M}{r} \). این یک میدان نردهای (اسکالر) است در اطراف جسم M. انرژی پتانسیل جسم آزمایش m در میدان φ است: \( U = m\phi \).
س۵: سرعت فرار چیست؟ چرا آن را "فرار" مینامند؟ ج: سرعت فرار کمترین سرعت مورد نیاز برای فرار یک جسم از میدان گرانشی است (رسیدن به r = ∞ با سرعت صفر). \( v_{escape} = \sqrt{\frac{2GM}{r}} \). "فرار" است زیرا جسم دیگر بازنمیگردد؛ انرژی کل آن صفر است.
س۶: شیب میدان گرانشی (نیروی جزر و مدی) چیست؟ ج: نیروی جزر و مدی نیروی گرانشی دیفرانسیل بر بخشهای مختلف یک جسم گسترده است. برای جسمی با اندازه Δr، \( \Delta g = \frac{2GM}{r^3} \Delta r \). این شیب اجسام را در راستای نیرو کشش میدهد و در جهت عمود بر نیرو فشرده میکند.
س۷: سه قانون کپلر را بیان کنید. ج:
- قانون اول: سیارات در بیضیهای مداری حرکت میکنند و خورشید در یکی از کانونهای بیضی قرار دارد.
- قانون دوم: خطی از خورشید به سیاره مساحتهای برابری را در زمانهای برابر رسم میکند.
- قانون سوم: مربع دوره مداری متناسب است با توان سوم نیممحور اصلی: \( T^2 = \frac{4\pi^2}{GM} a^3 \).
س۸: سرعت مداری برای مدار دایرهای چیست؟ رابطه را اشتقاق کنید. ج: سرعت مداری است: \( v_{orbit} = \sqrt{\frac{GM}{r}} \). اشتقاق: نیروی گرانشی نقش نیروی گریزستاده را بر عهده میگیرد: \( G\frac{Mm}{r^2} = \frac{Mv^2}{r} \). حل برای v نتیجه را میدهد. مدارات بالاتر (r بزرگتر) سرعتهای کمتری دارند.
معادلات و کاربردها
س۹: چه زمانی \( U = -G \frac{m_1 m_2}{r} \) استفاده میکنید و چه زمانی \( U = mgh \)؟ ج: از \( -G \frac{m_1 m_2}{r} \) برای سیستمهایی استفاده کنید که فاصلۀ r با اندازۀ جسم قابل مقایسه است یا وقتی r تغییر قابلتوجهی داشته باشد. فقط از mgh نزدیک سطح زمین استفاده کنید که g ≈ 10 m/s² تقریباً ثابت باشد (معتبر برای Δr << R_زمین).
س۱۰: انرژی مکانیکی کل در مدار دایرهای چیست؟ ج: برای مدار دایرهای، \( E_{total} = K + U = \frac{1}{2}mv^2 - G\frac{Mm}{r} = -G\frac{Mm}{2r} \). انرژی کل منفی است، نشاندهندۀ مدار محدود. انرژی جنبشی مثبت است، پتانسیل منفی، و |U| = 2K.
س۱۱: چگونه سرعت مداری و سرعت فرار به هم مرتبط اند؟ ج: سرعت فرار \( \sqrt{2} \) برابر سرعت مداری است: \( v_{escape} = \sqrt{2} \cdot v_{orbit} \). در سرعت مداری، جسم محدود میماند؛ در سرعت فرار، انرژی کل آن صفر است و برای ابد فرار میکند.
س۱۲: با داشتن دورۀ مداری T و شعاع r، چگونه جرم M را مییابید؟ ج: قانون سوم کپلر را استفاده کنید: \( T^2 = \frac{4\pi^2}{GM} r^3 \). حل برای M: \( M = \frac{4\pi^2 r^3}{GT^2} \). اخترشناسان این روش را برای تعیین جرم ستارگان و کهکشانها استفاده میکنند.
س۱۳: ارتباط میان دورۀ مداری و شعاع مداری چیست؟ ج: از قانون سوم کپلر، \( T \propto r^{3/2} \). دو برابر کردن شعاع مداری دوره را به ضریب \( 2^{3/2} \approx 2.83 \) افزایش میدهد. مدارات بزرگتر بسیار زمان بیشتری میبرند.
س۱۴: "قضیۀ پوسته" برای نیروهای گرانشی را توضیح دهید. ج: پوستۀ یکنواخت و کروی از جسم هیچ نیروی گرانشی بر ذرهای درون خود اعمال نمیکند. برای ذرهای بیرون پوسته، پوسته بهگونهای عمل میکند که گویی تمام جرم آن در مرکز متمرکز است. این توجیه میدهد چرا سیارات را در محاسبات مداری نقطهای در نظر میگیریم.
پرسشهای مفهومی
س۱۵: چرا زمین به دور خورشید میچرخد نه آنکه در آن بیفتد؟ ج: زمین دارای سرعت مداری است (≈ ۳۰ کیلومتر بر ثانیه). گرانش آن را بهطرف خورشید میکشد، اما لختی زمین (سرعت مماس) از برخورد جلوگیری میکند. این دو تعادل ایجاد میکند و مدار بیضیشکل پایداری تشکیل میشود. بدون آن سرعت، زمین واقعاً میافتاد.
س۱۶: آیا نیروی گرانشی به حرکت اجسام بستگی دارد؟ ج: خیر. نیروی \( F = G \frac{m_1 m_2}{r^2} \) تنها به جرمها و جدایی بستگی دارد، نه سرعت. این خصوصیت بنیادی گرانش است (برخلاف نیروی مغناطیسی که به حرکت بستگی دارد). تمام اجسام در همان r دارای یک نیروی مشابه اند.
س۱۷: چه چیز تعیین میکند که مدار دایرهای است یا بیضیشکل؟ ج: مدار دایرهای است زمانیکه سرعت دقیقاً \( v_{orbit} = \sqrt{\frac{GM}{r}} \) است در تمام نقاط. مدار بیضیشکل زمانی حاصل میشود که سرعت بین این و سرعت فرار باشد. شکل (خروجمرکزی) به جهت و بزرگی سرعت در یک شعاع مفروض بستگی دارد.
س۱۸: چرا ماه از گرانش زمین فرار نمیکند؟ ج: سرعت مداری ماه (≈ ۱ کیلومتر بر ثانیه) بسیار کمتر از سرعت فرار از زمین است (≈ ۱۱ کیلومتر بر ثانیه). با انرژی کل E = −GMm/(2r) < 0، ماه محدود میماند. برای فرار نیاز است به سرعت فرار شتاب دهی شود.
س۱۹: نیروهای جزر و مدی چگونه بر ماههای سیارهای و حلقهها اثر میگذارند؟ ج: نیروهای جزر و مدی تنش ایجاد میکنند در سراسر اجسام گسترده. اگر تنش جزر و مدی از قدرت ساختاری جسم بیشتر باشد، میتواند آن را پاره کند (حد روش). حلقههای زحل زمانی تشکیل شدند که نیروهای جزر و مدی ماه را نابود کردند. جزر و مدی اقیانوسهای زمین ناشی از نیروهای جزر و مدی ماه و خورشید است.
س۲۰: تفاوت میان جرم گرانشی و جرم لختی چیست؟ ج: جرم گرانشی تعیین میکند نیروی گرانشی که جسم ایجاد میکند (منبع گرانش). جرم لختی مقاومت در برابر شتاب را تعیین میکند (F = ma). آزمایشها نشان میدهند آنها برابرند با دقتی شگفتانگیز. این معادلسازی مرکزی برای نسبیت عام انیشتین است.
مثالهای حلشده
س۲۱: ماهوارهای به دور زمین در r = 2R_زمین (دو شعاع زمین از مرکز) مدار میزند. سرعت مداری آن نسبت به گرانش سطح چقدر است؟ ج: در r = 2R_زمین: \( v_{orbit} = \sqrt{\frac{GM_زمین}{2R_زمین}} = \sqrt{\frac{gR_زمین}{2}} = \sqrt{\frac{10 \times 6.4 \times 10^6}{2}} \approx 5.6 \) کیلومتر بر ثانیه (در مقایسه با ≈ ۱۱.۲ کیلومتر بر ثانیه در سطح). سرعت مداری با ارتفاع کاهش مییابد.
س۲۲: سرعت فرار زمین در سطح را محاسبه کنید (g ≈ 10 m/s²، R_زمین ≈ 6.4 × 10⁶ متر). ج: \( v_{escape} = \sqrt{2gR_زمین} = \sqrt{2 \times 10 \times 6.4 \times 10^6} = \sqrt{1.28 \times 10^8} \approx 11.3 \) کیلومتر بر ثانیه. هر جسمی که سریعتر از این از سطح زمین پرتاب شود فرار میکند (بدون مقاومت هوا).
س۲۳: مریخ دارای شعاع 0.53 R_زمین و گرانش سطحی 0.38 g_زمین است. نسبت سرعتهای فرار چیست؟ ج: \( \frac{v_{escape,مریخ}}{v_{escape,زمین}} = \sqrt{\frac{g_{مریخ} R_{مریخ}}{g_زمین R_زمین}} = \sqrt{0.38 \times 0.53} = \sqrt{0.201} \approx 0.45 \). سرعت فرار مریخ ≈ ۵.۰ کیلومتر بر ثانیه است (حدود ۴۴ درصد زمین).
س۲۴: ماه به دور زمین در T = 27.3 روز در فاصلۀ r = 3.84 × 10⁸ متر مدار میزند. جرم زمین را محاسبه کنید. ج: \( M_زمین = \frac{4\pi^2 r^3}{GT^2} = \frac{4\pi^2 (3.84 \times 10^8)^3}{6.67 \times 10^{-11} (27.3 \times 86400)^2} \approx 6.0 \times 10^{24} \) کیلوگرم. این با مقدار پذیرفتهشده منطبق است و قانون کپلر را تأیید میکند.
سوالی دارید؟ 🤔
اگه مفهومی نامشخص بود یا سوالی داشتید، اینجا بپرسید. جوابتون در اینجا منتشر میشه.