وقتی مایعی از طریق لولهی یا کانال جریان داره، نرخ جریان حجمی باید در طول راه ثابت بمونه اگه مایع تراکمناپذیر باشه (مثل آب). این معادلهی تداوم ـه، نتیجه مستقیم پایستگی جرم.
اشتقاق معادلهی تداوم
لولهای رو تصور کن که سطح مقطع متغیری داره و مایع در آن جریان داره. در زمان \( dt \)، حجمی از مایع \( dV \) از هر سطح مقطع عبور میکنه. نرخ جریان حجمی:
\[ Q = \frac{dV}{dt} = A v \]
که \( A \) سطح مقطع و \( v \) سرعت متوسط مایع در آن سطح. برای مایع تراکمناپذیر که منبع یا فرو آب جرم نداره، جریان باید همهجا در طول لوله برابر:
\[ Q = A_1 v_1 = A_2 v_2 = \text{ثابت} \]
این معادلهی تداوم ـه. اگه لوله تنگ شه (سطح کاهش)، مایع باید سریعتر حرکت کنه تا همون جریان حجمی حفظ کنه. برعکس، اگه لوله عریض شه، مایع کند میشه.
نگاه شهودی
فرض کن آب از یه لوله انعطافپذیر جریان داره. جایی که لوله نیمهی شعاعش فشرده میشه، سطح مقطع به \( (1/2)^2 = 1/4 \) اصلیاش میرسه. براساس تداوم، سرعت باید چهار برابر شه. همون جرم آبی که وارد بخش تنگ میشه، باید خارج شه—فقط سریعتر حرکت میکنه.
مثال محاسبهای: جریان از طریق تنگی
آب بهطور پایدار از لولهی افقی جریان داره. لوله دو بخش داره: بخش عریض با قطر \( d_1 = 10 \) سانتیمتر و سرعت \( v_1 = 2 \) متر بر ثانیه، و بخش تنگ با قطر \( d_2 = 5 \) سانتیمتر. سرعت در بخش تنگ چقدره؟
مرحله ۱: محاسبهی سطحها \[ A_1 = \pi \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 = \pi (0.05)^2 = 0.00785 \text{ m}^2 \] \[ A_2 = \pi \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = \pi (0.025)^2 = 0.00196 \text{ m}^2 \]
مرحله ۲: کاربرد تداوم \[ A_1 v_1 = A_2 v_2 \] \[ 0.00785 \times 2 = 0.00196 \times v_2 \] \[ v_2 = \frac{0.0157}{0.00196} = 8 \text{ m/s} \]
بررسی: نسبت سطحها \( A_1/A_2 = 0.00785/0.00196 = 4 \). نسبت سرعتها \( v_2/v_1 = 8/2 = 4 \). منطقی.
مایع سرعت چهار برابر میکنه وقتی سطح مقطع ۴ برابر کاهش مییابه. این آب رو شتاب میده، انرژی گرانشی یا فشاری رو به انرژی جنبشی تبدیل میکنه.
نرخ جریان حجمی در یکاهای رایج
نرخ جریان حجمی \( Q \) اغلب بهصورت لیتر بر ثانیه (L/s) یا گالن بر دقیقه (gal/min) بیان میشه.
- سرشاخهی حمام معمولی: \( Q \approx 10 \) L/min \( \approx 0.17 \) L/s
- لولهی آتشنشانی: \( Q \approx 1000 \) L/min \( \approx 17 \) L/s
- رودخانهی بزرگ: \( Q \approx 10^8 \) L/s (آمازون حدود ۲۰۹,۰۰۰ متر مکعب بر ثانیه تخلیه میکنه \( \approx 2 \times 10^8 \) L/s)
نرخ جریان جرم vs نرخ جریان حجمی
برای مایع تراکمپذیر (مثل گاز)، جرم پایستگی داره ولی حجم ممکنه با تغییر فشار و دما تبدیل شه. نرخ جریان جرم:
\[ \dot{m} = \rho Q = \rho A v \]
که \( \rho \) چگالی محلی مایع. برای مایعات تراکمناپذیر، \( \rho \) ثابت، پس نرخ جریان جرم و حجمی متناسب.
تداوم در سه بعد: شکل عام
برای جریان از یک سطح بسته، نرخ جریان جرم خروجی برابر نرخ جریان جرم ورودی:
\[ \oint \rho \vec{v} \cdot d\vec{A} = 0 \]
این معادلهی تداوم در شکل انتگرالی ـه، بیان ریاضی پایستگی جرم. برای عنصری از مایع با حجم \( \delta V \):
\[ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \vec{v}) = 0 \]
این شکل دیفرانسیلی ـه، برای شبیهسازیهای دقیق جریان مایع.
کاربردهای عملی
لولهی باغی: آبپاشکی خود رو روی دهانه قرار دادن سطح رو کاهش میده و سرعت جت افزایش مییابه و فاصلهی پاشش رو بیشتر میکنه. همین اصل در نازلهای لولهی آتشنشانی.
سیستم قلبیعروقی: نرخ جریان خون از طریق رگهای اندازههای مختلف باید پیوسته باشه. جایی که شرایین شاخه میشن و تنگ میشن، خون شتاب میگیره؛ در مویرگها، کل سطح مقطع افزایش مییابه و خون کند میشه (حیاتی برای تبادل مغذی و ضایعات).
تونل باد: برای شتاب دادن جریان هوا، مهندسان از نازلی تقاطعی استفاده میکنن که کانال جریان رو تنگ میکنه، هوا رو با تداوم سریعتر کنه.
محدودیتها: تراکمپذیری و آشفتگی
تداوم در شکل سادهی \( A_1 v_1 = A_2 v_2 \) فرض میکنه: ۱. جریان تراکمناپذیر — چگالی ثابت (برای مایعات درست، هوای سریع کمی فشرده میشه) ۲. جریان پایدار — بدون تغییرات وابسته به زمان (الگوی جریان نوسان نمیکنه) ۳. بدون منبع/فرو — جرم در طول راه تزریق یا حذف نمیشه
در سرعتهای بسیار بالا، سرعت صوت یا در گازها، تراکمپذیری قابل توجه میشه.
چه چیزی رو باید یاد گرفته باشی
- بیان و کاربرد معادلهی تداوم \( A v = \text{ثابت} \)
- محاسبهی سرعت یا سطح در بخشهای لولهی مختلف
- محاسبهی نرخ جریان حجمی و تبدیل بین یکاها
- توضیح معنی فیزیکی: جریان سریعتر در بخشهای تنگتر
- تفکیک نرخ جریان حجمی و جرم
- شناخت کاربردهای عملی در لولهکشی، پزشکی و مهندسی
پیشنمایش §۱۴.۵
معادلهی برنولی: ارتباط فشار، سرعت و ارتفاع در مایعات جریانداری، ترکیب پایستگی انرژی با دینامیک.
📚 همچنین ببین: Halliday Vol 2, Ch 14, §14.4.
سوالی دارید؟ 🤔
اگه مفهومی نامشخص بود یا سوالی داشتید، اینجا بپرسید. جوابتون در اینجا منتشر میشه.