§۱۴.۶ — ویسکوزیته و قانون استوکس

مایعات واقعی بدون مقاومت جریان نمی‌دارن. ویسکوزیته خصوصیتی ـه که توصیف می‌کنه چگونه مایع در برابر حرکت مقاومت می‌کنه، مثل اصطکاک در جامدات. از نیروهای بین‌ملکولی و ساختار داخلی مایع ریشه داره. ویسکوزیته انجر انتشار انرژی، انرژی جنبشی رو به گرما تبدیل می‌کنه و نیروی درگ روی اجسام حرکت‌کننده در مایعات ایجاد می‌کنه.

ویسکوزیته و تنش برشی

وقتی لایه‌ای از مایع روی لایه‌ی مجاور می‌لغزه، نیروی مماسی در برابر حرکت نسبی مقاومت می‌کنه—این درگ ویسکوز. برای مایعات نیوتونی ساده (مثل آب، روغن و هوا)، تنش برشی متناسب با گرادیان سرعت:

\[ \tau = \eta \frac{dv}{dy} \]

که در آن:

گرادیان سرعت بزرگ‌تر، تنش برشی بیشتر. مایع با ویسکوزیته بیشتر (بزرگ‌تر \( \eta \)) مقاومت بیشتری برای همون گرادیان وارد می‌کنه.

مقدار ویسکوزیته معمول

مایع ویسکوزیته دینامیکی (\( \eta \)) دما
هوا 1.8 × 10⁻⁵ Pa·s ۲۰°C
آب 1.0 × 10⁻³ Pa·s ۲۰°C
روغن زیتون 0.08 Pa·s ۲۰°C
عسل 2 Pa·s ۲۰°C
گلیسرین 1.5 Pa·s ۲۰°C
جیوه 1.5 × 10⁻³ Pa·s ۲۰°C

آب حدود ۱۰۰ برابر ویسکوز‌تر از هوا، و عسل تقریباً ۱۰۰۰ برابر ویسکوز‌تر از آب.

ویسکوزیته سینماتیکی نسبت ویسکوزیته دینامیکی به چگالی:

\[ \nu = \frac{\eta}{\rho} \]

(یکای SI: m²/s). این گاهی برای دینامیک سیالات مرتبط‌تره چون هم اثرات اینرسی هم ویسکوز رو ترکیب می‌کنه.

قانون استوکس: درگ روی کره

یکی از اهم نتایج در دینامیک سیالات قانون استوکس ـه، که نیروی درگ روی کره‌ی کوچک که به‌آرام در مایع ویسکوز حرکت می‌کنه:

\[ F_D = 6 \pi \eta r v \]

که در آن:

این فرمول برای جریان لایه‌ای در اعداد رینولدز پایین (Re < 1، تقریباً \( v < 0.01 \) m/s برای آب اطراف اجسام کوچک) معتبر.

درک کلیدی: نیروی درگ متناسب با سرعت (نه سرعت مربع مثل مقاومت هوا در سرعت‌های بالا). این وابستگی خطی محاسبات سادگی ایجاد می‌کنه و دلیل اینه که اثرات ویسکوز در مقیاس‌های کوچک غالب.

مثال محاسبه‌ای: کره‌ی ریختی در روغن

کره‌ی فولاد‌ای با شعاع \( r = 2 \) میلی‌متر (چگالی \( \rho_s = 7800 \) kg/m³) از روغن می‌افتاد (چگالی \( \rho_o = 900 \) kg/m³، ویسکوزیته \( \eta = 0.1 \) Pa·s). سرعت پایایی (سرعت ثابت وقتی درگ گرانش رو جبران کنه) چقدره؟

مرحله ۱: محاسبه‌ی نیروها

وزن: \[ W = m_s g = \rho_s V_s g = 7800 \times \frac{4}{3}\pi (0.002)^3 \times 9.8 = 0.0164 \text{ N} \]

شناوری (از §۱۴.۳): \[ F_B = \rho_o V_s g = 900 \times \frac{4}{3}\pi (0.002)^3 \times 9.8 = 0.00188 \text{ N} \]

نیروی خالص به‌پایین قبل از درگ: \[ F_{\text{net}} = W - F_B = 0.0164 - 0.00188 = 0.0145 \text{ N} \]

مرحله ۲: کاربرد قانون استوکس در سرعت پایایی

در سرعت پایایی، نیروی درگ برابر نیروی خالص به‌پایین: \[ F_D = F_{\text{net}} \] \[ 6 \pi \eta r v_t = 0.0145 \] \[ 6 \pi \times 0.1 \times 0.002 \times v_t = 0.0145 \] \[ 0.00377 \, v_t = 0.0145 \] \[ v_t = 3.85 \text{ m/s} \]

کره سرعت پایایی حدود ۳.۸۵ متر بر ثانیه رسیده. بعد از رسیدن این سرعت، شتاب قطع می‌شه و توپ با سرعت ثابت می‌افتاد.

قانون پویزیل: جریان از طریق لوله

برای جریان لایه‌ای از طریق لوله‌ی استوانه‌ای، قانون پویزیل نرخ جریان حجمی رو می‌ده:

\[ Q = \frac{\pi r^4 \Delta P}{8 \eta L} \]

که در آن:

توجه کن به توان چهارم شعاع: نصف کردن شعاع نرخ جریان رو ۱۶ برابر کاهش می‌ده. این دلیل اینه که شرایین گرفتگی (قطر کاهش) جریان خون رو کاهش درامی می‌ده. هم‌چنین نرخ جریان با ویسکوزیته معکوس: مایعات ضخیم‌تر آرام‌تر جریان دارن.

عدد رینولدز و انتقال به آشفتگی

عدد رینولدز کمیتی بدون‌بعد ـه که پیش‌بینی می‌کنه آیا جریان لایه‌ای (منظم، بدون مخلوط‌کاری) یا آشفت (بی‌نظم، با گردابه‌ها و مخلوط‌کاری):

\[ \text{Re} = \frac{\rho v D}{\eta} = \frac{v D}{\nu} \]

جایی که \( D \) طول مشخصه (مثل قطر لوله).

مثلاً کره‌ای در آب با سرعت ۱ متر بر ثانیه (D ≈ 0.01 m) Re ≈ 10,000 داره، عمیق در رژیم آشفت. قانون استوکس دیگر معتبر؛ بجاش درگ \( F_D \propto v^2 \) متابعت می‌کنه.

انتشار انرژی در جریان ویسکوز

توان متلاشی‌شده (انرژی بر واحد زمان) توسط نیروهای ویسکوز:

\[ P = F_D \times v = \eta A \frac{dv}{dy} \times v \]

برای جریان استوکس: \[ P = 6 \pi \eta r v^2 \]

این انرژی به گرما تبدیل می‌شه، مایع رو گرم می‌کنه. این دلیل اینه که تکاندن عسل ضخیم گرما قابل توجهی ایجاد می‌کنه، و چرا اصطکاک داخلی موتورها انرژی رو متلاشی می‌کنه.

کاربردهای عملی

روانکاری: روغن اصطکاک بین قطعات متحرک رو کاهش می‌ده چون ویسکوزیته‌اش فیلم نازک ایجاد می‌کنه که جسب‌خوردگی فلز بر فلز رو جلوگیری می‌کنه.

جریان خون: ویسکوزیته خون و قطر شریان حیاتی؛ رگ‌های تنگ‌تر یا خون ضخیم‌تر (hematocrit بالا) مقاومت افزایش می‌دن و فشار خون بالا می‌رفت.

میکروسیالات: در مقیاس‌های بسیار کوچک (Re << 1)، اینرسیا ناچیز و اثرات ویسکوز غالب. دستگاه‌ها می‌تونن جریان استوکس رو استفاده کنن ذرات جدا یا مخلوط‌کاری مایعات بدون آشفتگی.

رسوب: ذرات رسوب‌کننده در مایع سرعت پایایی رسیدن وقتی وزنشون (منهای شناوری) با درگ ویسکوز برابر. سانتریفیوژها این فرآیند رو شتاب می‌دن با افزایش «گرانش» مؤثر.

چه چیزی رو باید یاد گرفته باشی

پیش‌نمایش §۱۴.۷

آشفتگی و جریان سیالات پیچیده: فراتر از رژیم خطی استوکس، بی‌نظمی، گردابه‌ها و ساختار‌های شبه‌خود.

📚 همچنین ببین: Halliday Vol 2, Ch 14, §14.6.

⇧ بازگشت به فهرست فصل

سوالی دارید؟ 🤔

اگه مفهومی نامشخص بود یا سوالی داشتید، اینجا بپرسید. جوابتون در اینجا منتشر می‌شه.