مسئله 3 IYPT 2027: ۳. توپ حلزونی

شرح و تحلیل مسئله

صورت مسئله رسمی

یک کره توخالی شامل یک توپ سنگین و مقداری مایع لزج است. حرکت غلتشی این کره به پایین یک صفحه شیبدار ناهموار و به‌طرز شگفت‌انگیزی کند است. این اثر را توضیح دهید و مورد بررسی قرار دهید.

مثال روزمره: تخم‌مرغ خام در مقابل آب‌پز

این پدیده را می‌توانید با یک آزمایش ساده در خانه ببینید: یک تخم‌مرغ خام و یک تخم‌مرغ آب‌پز را روی یک شیب رها کنید. تخم‌مرغ آب‌پز (جامد) سریع‌تر می‌غلتد؛ تخم‌مرغ خام (با مایع داخلی) کندتر و ناهموارتر حرکت می‌کند — دقیقاً همان اثر توپ حلزونی. فیزیک هر دو کاملاً یکسان است: مایع داخلی مانند یک آونگ عمل می‌کند که انرژی را جذب و آزاد می‌کند.

مفاهیم فیزیکی کلیدی

ساختار سیستم

یک کره توخالی (جرم M، شعاع R) را در نظر بگیرید که داخلش یک توپ جامد سنگین (جرم m، شعاع r) و مقداری مایع لزج وجود دارد:

توپ داخلی با فاصله d = R − r از مرکز کره در پایین می‌نشیند
مایع لزج نیروی میراکننده ایجاد می‌کند (ضریب b [N·m·s/rad])
هنگام غلتیدن، توپ داخلی مانند آونگ کروی نوسان می‌کند

چرا حرکت ناهموار است؟

فرکانس طبیعی آونگ داخلی:

ω_p = √(g·cosα / (R − r))

ω_p: فرکانس زاویه‌ای طبیعی آونگ [rad/s]
g: شتاب گرانش [m/s²]
α: زاویه شیب صفحه [rad]
R − r = d: طول مؤثر آونگ (فاصله مرکز توپ داخلی از مرکز کره) [m]

شتاب کره یک نیروی شبه در دستگاه مرجع کره ایجاد می‌کند که توپ را از تعادل خارج می‌کند. توپ نوسان می‌کند و سرعت کره را متناوباً کم و زیاد می‌کند — حرکت ناهموار.

چرا حرکت کند است؟

معادلات حرکت (روش لاگرانژ — دستگاه کوپل‌شده دو درجه آزادی):

(M_tot + I_s/R²)·s̈ + m·d·cos(α+φ)·φ̈ = M_tot·g·sinα + m·d·φ̇²·sin(α+φ)
m·d²·φ̈ + m·d·cos(α+φ)·s̈ = −m·g·d·sinφ − b·φ̇

s: مسافت طی‌شده کره روی شیب [m]
φ: زاویه توپ داخلی از راستای قائم [rad]
M_tot = M + m: جرم کل سیستم [kg]
I_s = (2/3)·M·R²: ممان اینرسی پوسته کروی توخالی [kg·m²]
d = R − r: طول مؤثر آونگ [m]
b: ضریب میرایی ویسکوز مایع [N·m·s/rad]
نقطه (·) و دو نقطه (̈): مشتق اول و دوم نسبت به زمان

توپ داخلی ممان اینرسی مؤثر سیستم را افزایش می‌دهد؛ مایع لزج انرژی نوسان را جذب می‌کند — نتیجه: غلتش کند.

مقایسه با کره‌های مرجع

کره جامد (همان جرم): a = 5/7 · g sinα ≈ 0.714 g sinα
کره توخالی ساده (فقط پوسته): a = 3/5 · g sinα = 0.600 g sinα
توپ حلزونی: کندتر از کره توخالی — اینرسی اضافی توپ داخلی + میرایی
تخم‌مرغ خام: معادل فیزیکی توپ حلزونی — کندتر از تخم‌مرغ آب‌پز

پارامترهای قابل بررسی

زاویه شیب α: بر هر دو شتاب و فرکانس آونگ تأثیر می‌گذارد
جرم توپ داخلی m: هرچه سنگین‌تر، اثر کند کردن قوی‌تر
لزجت مایع η: لزجت زیاد → نوسانات کمتر ولی همچنان کند
شعاع‌ها R و r: طول آونگ d = R − r را تعیین می‌کند
جنس سطح شیب: اصطکاک غلتشی بر نتایج تأثیر می‌گذارد

روش آزمایش پیشنهادی

کره توخالی شفاف پلاستیکی (یا تخم‌مرغ خام) انتخاب کنید تا حرکت توپ داخلی دیده شود
مقادیر مختلف گلیسرول داخل کره بریزید تا لزجت تغییر دهید
زاویه شیب را از ۵ تا ۳۰ درجه تغییر دهید
زمان پیمودن مسافت ثابت (مثلاً ۵۰ cm) را چند بار اندازه بگیرید و میانگین بگیرید
با کره توخالی خالی (معیار) مقایسه کنید
با دوربین از کنار فیلم بگیرید تا نوسانات ناهموار ثبت شوند

منابع

انیمیشن پدیده

چپ: کره توخالی روی شیب ۱۵ درجه؛ توپ داخلی (نارنجی) مانند آونگ نوسان می‌کند.
راست: سرعت لحظه‌ای توپ حلزونی (آبی) در مقایسه با کره توخالی ساده (زرد) و کره جامد (سبز).

دیاگرام: کره توخالی (M، R)، توپ داخلی (m، r)، طول آونگ d = R − r، زاویه آونگ φ و زاویه شیب α.

شبیه‌سازی تعاملی (Python)

این شبیه‌سازی مستقیماً در مرورگر شما اجرا می‌شود — بدون نیاز به نصب Python. بارگذاری اولیه ممکن است چند ثانیه طول بکشد.

زاویه شیب (°) 15 °

نسبت جرم داخلی m/M_tot 0.3

لزجت نرمال‌شده 1

زاویه اولیه توپ (°) 20 °

برای شروع، دکمه زیر را بفشارید.

(a) موقعیت کره روی شیب در برابر زمان: توپ حلزونی (آبی) از کره توخالی ساده (زرد) و کره جامد (سبز) کندتر است — اثر اینرسی اضافی توپ داخلی و میرایی ویسکوز.
(b) سرعت لحظه‌ای: نوسانات کوچک حرکت «ناهموار» را نشان می‌دهد — توپ داخلی مانند آونگ با فرکانس ω_p = √(g cosα/(R−r)) نوسان می‌کند.
(c) زاویه آونگ توپ داخلی φ(t): نوسانات میراشده به‌دلیل لزجت مایع؛ خطوط عمودی نقطه‌چین هر نیم‌دوره نوسان را نشان می‌دهند.

آزمایشگاه کد Python

این کد آماده را می‌توانید ویرایش کنید، داده‌های آزمایشی خودتان را وارد کنید و مستقیماً در مرورگر اجرا کنید — بدون نیاز به نصب Python.

Python — قابل ویرایش

# آزمایش «توپ حلزونی» — تحلیل حرکت غلتشی با Python
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# ── بخش ۱: داده‌های آزمایشی ──────────────────────────────────────────
# زاویه شیب (درجه) — اندازه‌گیری شما
theta_deg = np.array([5, 10, 15, 20, 25, 30])

# زمان پیمودن d = 50 cm برای توپ حلزونی (ثانیه)
# این مقادیر نمونه هستند — مقادیر آزمایش خود را جایگزین کنید
t_snail  = np.array([3.80, 2.55, 1.98, 1.62, 1.38, 1.22])

# زمان همان مسیر برای کره توخالی ساده (بدون محتوا)
t_hollow = np.array([2.90, 1.94, 1.52, 1.24, 1.06, 0.94])

# ── بخش ۲: محاسبات ───────────────────────────────────────────────────
d = 0.50   # m
g = 9.81   # m/s²

theta_rad = np.radians(theta_deg)
sin_th    = np.sin(theta_rad)

# شتاب از d = ½ a t²  →  a = 2d/t²  [m/s²]
a_snail  = 2*d / t_snail**2
a_hollow = 2*d / t_hollow**2

# نسبت بدون‌بُعد a / (g sinθ)
ratio_snail  = a_snail  / (g * sin_th)
ratio_hollow = a_hollow / (g * sin_th)

# ── بخش ۳: نمودارها ──────────────────────────────────────────────────
fig, axes = plt.subplots(1, 3, figsize=(12, 4))
fig.suptitle('Snail Ball Experiment — Data Analysis', fontsize=13, fontweight='bold')

# (a) شتاب در برابر sinθ
ax1 = axes[0]
ax1.scatter(sin_th, a_snail,  color='#1a73e8', s=70, zorder=5,
            label='Snail ball (data)')
ax1.scatter(sin_th, a_hollow, color='#e67e22', s=70, zorder=5,
            label='Hollow sphere (data)')
p_snail  = np.polyfit(sin_th, a_snail,  1)
p_hollow = np.polyfit(sin_th, a_hollow, 1)
s_fit    = np.linspace(0, sin_th.max()*1.1, 50)
ax1.plot(s_fit, np.polyval(p_snail,  s_fit), color='#1a73e8', ls='--', lw=1.5,
         label=f'Fit: a = {p_snail[0]:.2f}·sinθ + {p_snail[1]:.3f}')
ax1.plot(s_fit, np.polyval(p_hollow, s_fit), color='#e67e22', ls='--', lw=1.5,
         label=f'Fit: a = {p_hollow[0]:.2f}·sinθ + {p_hollow[1]:.3f}')
ax1.plot(s_fit, 5/7*g*s_fit,   color='green',  ls=':', lw=1.2,
         label='Theory: solid sphere 5/7·g·sinθ')
ax1.plot(s_fit, 3/5*g*s_fit,   color='purple', ls=':', lw=1.2,
         label='Theory: hollow sphere 3/5·g·sinθ')
ax1.set_xlabel('sin θ  (dimensionless)')
ax1.set_ylabel('a  (m/s²)')
ax1.set_title('(a) Acceleration vs sin θ')
ax1.legend(fontsize=7)
ax1.grid(True, alpha=0.3)

# (b) نسبت a/(g sinθ)
ax2 = axes[1]
ax2.plot(theta_deg, ratio_snail,  'o-', color='#1a73e8', lw=2, ms=8,
         label='Snail ball')
ax2.plot(theta_deg, ratio_hollow, 's-', color='#e67e22', lw=2, ms=8,
         label='Plain hollow sphere')
ax2.axhline(5/7, color='green',  ls=':', lw=1.5, label=f'Solid sphere: 5/7 = {5/7:.3f}')
ax2.axhline(3/5, color='purple', ls=':', lw=1.5, label=f'Hollow sphere: 3/5 = {3/5:.3f}')
ax2.set_xlabel('θ  (°)')
ax2.set_ylabel('a / (g sinθ)  (dimensionless)')
ax2.set_title('(b) Dimensionless acceleration ratio')
ax2.legend(fontsize=8); ax2.set_ylim(0, 0.9)
ax2.grid(True, alpha=0.3)

# (c) مقایسه زمان
ax3 = axes[2]
width = 3.0
ax3.bar(theta_deg - width/2, t_snail,  width, color='#1a73e8', alpha=0.85,
        label='Snail ball', edgecolor='#1a73e8')
ax3.bar(theta_deg + width/2, t_hollow, width, color='#e67e22', alpha=0.85,
        label='Plain hollow sphere', edgecolor='#e67e22')
ax3.set_xlabel('θ  (°)')
ax3.set_ylabel('Time  (s)  for d = 50 cm')
ax3.set_title('(c) Time comparison')
ax3.legend(fontsize=9)
t_ratio = np.mean(t_snail / t_hollow)
ax3.text(0.02, 0.97,
         f'Mean time ratio: {t_ratio:.2f}xn(snail ball is slower)',
         transform=ax3.transAxes, fontsize=9, va='top', color='#1a73e8', fontweight='bold')
ax3.grid(True, alpha=0.3, axis='y')


# ── Watermark ────────────────────────────────────────────────────────────────
for _wx in [0.18, 0.50, 0.82]:
    for _wy in [0.22, 0.52, 0.80]:
        fig.text(_wx, _wy, 'physicsme.ir',
                 fontsize=16, color='#b0b8cc', alpha=0.22,
                 ha='center', va='center', rotation=30,
                 transform=fig.transFigure, fontweight='bold', style='italic')
        fig.text(_wx, _wy - 0.055, 'man_e fizikee',
                 fontsize=10, color='#b0b8cc', alpha=0.22,
                 ha='center', va='center', rotation=30,
                 transform=fig.transFigure, fontweight='bold', style='italic')
fig.text(0.98, 0.012, '© physicsme.ir  ·  man_e fizikee',
         fontsize=8, color='#888', alpha=0.75,
         ha='right', va='bottom', transform=fig.transFigure)
plt.tight_layout()

# ── بخش ۴: خلاصه عددی ───────────────────────────────────────────────
print('═══════════════════════════════════════')
print('   Snail Ball — Results')
print('═══════════════════════════════════════')
print(f'θ (°) | a_snail (m/s²) | a_hollow | ratio | 3/5=0.600')
print('-' * 55)
for i in range(len(theta_deg)):
    print(f'{theta_deg[i]:5.0f} | {a_snail[i]:8.3f}        | {a_hollow[i]:6.3f}   '
          f'| {ratio_snail[i]:.3f} | {ratio_hollow[i]:.3f}')
print(f'nMean a/(g sinθ) snail ball: {np.mean(ratio_snail):.3f}')
print(f'Mean time ratio (snail/hollow): {t_ratio:.2f}x')

آماده برای اجرا

خروجی