هفت مسئلهی حلشده که همهی ابزارهای فصل ۳ رو تست میکنن. هر مسئله با راهحل قدمبهقدم و بخش §۳.x مربوطه تگ میشه.
مسئله ۱ — جمع دو نیرو (§۳.۴)
سناریو: دو طناب یه بار رو میکشن:
- طناب اول با نیروی
120 Nدر30°بالای افق - طناب دوم با نیروی
80 Nدر60°بالای افق
نیروی کل رو محاسبه کن.
راهحل:
تجزیه:
F_{1x} = 120 \cos 30° = 103.9\ \mathrm{N}F_{1y} = 120 \sin 30° = 60\ \mathrm{N}F_{2x} = 80 \cos 60° = 40\ \mathrm{N}F_{2y} = 80 \sin 60° = 69.3\ \mathrm{N}
جمع:
F_x = 103.9 + 40 = 143.9\ \mathrm{N}F_y = 60 + 69.3 = 129.3\ \mathrm{N}
اندازه: F = \sqrt{143.9^2 + 129.3^2} = \sqrt{20707 + 16719} = \sqrt{37426} \approx 193.5\ \mathrm{N}
زاویه: \theta = \arctan(129.3/143.9) \approx 41.9°
مسئله ۲ — رودخانهی متحرک (§۳.۲)
سناریو: یه قایق با سرعت 4 m/s نسبت به آب میتونه حرکت کنه. رودخانه با سرعت 3 m/s به سمت شرق جریان داره. قایقران میخواد به سمت شمال بره. چه زاویهای باید انتخاب کنه و سرعت واقعی نسبت به زمین چقدر میشه؟
راهحل:
\vec v_{قایق/زمین} = \vec v_{قایق/آب} + \vec v_{آب/زمین}
برای اینکه سرعت خالص به سمت شمال باشه، x قایقران باید جریان رو خنثی کنه.
قایقران با زاویهی \theta غرب از شمال هدفگیری میکنه:
- مؤلفهی شرق قایقران:
-4 \sin\theta - برای خنثی کردن جریان:
-4\sin\theta + 3 = 0 \Rightarrow \sin\theta = 3/4 = 0.75
\[ \theta = \arcsin(0.75) \approx 48.6°\ \text{غرب از شمال} \]
سرعت واقعی به سمت شمال: v = 4\cos\theta = 4 \cdot 0.661 \approx 2.65\ \mathrm{m/s}
مسئله ۳ — کار روی یه سطح شیبدار (§۳.۵)
سناریو: یه صندوق 50 kg رو با نیروی 300 N موازی سطح 20 m روی سطح شیبدار 20° بالا میبری. کار انجامشده توسط نیروی تو چقدر ـه؟
راهحل:
نیرو و جابهجایی هر دو در امتداد سطحاند، پس زاویه بینشون صفر ـه:
\[ W = \vec F \cdot \vec d = F d \cos 0° = 300 \cdot 20 \cdot 1 = 6000\ \mathrm{J} \]
نکته: حتی برای مسیر مایل، اگه نیرو و جابهجایی همجهت باشن، فرمول ساده کار میکنه.
سؤال اضافی: کار انجامشده توسط گرانش چقدره؟
گرانش \vec F_g = -mg\hat j = -50 \cdot 9.8 \hat j = -490\hat j\ \mathrm{N}. جابهجایی \vec d = 20\cos 20° \hat i + 20\sin 20° \hat j = 18.79\hat i + 6.84\hat j\ \mathrm{m}.
\[ W_g = \vec F_g \cdot \vec d = 0 + (-490)(6.84) \approx -3352\ \mathrm{J} \]
منفی (چون گرانش مخالف صعود ـه). کار خالص: 6000 - 3352 = 2648 J که به انرژی جنبشی میشه.
مسئله ۴ — زاویه بین دو بردار (§۳.۵)
سناریو: \vec a = 2\hat i - \hat j + 3\hat k، \vec b = -\hat i + 2\hat j + \hat k. زاویه بینشون؟
راهحل:
\[ \vec a \cdot \vec b = 2(-1) + (-1)(2) + 3(1) = -2 - 2 + 3 = -1 \]
\[ |a| = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14},\quad |b| = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6} \]
\[ \cos\phi = \frac{-1}{\sqrt{14}\sqrt{6}} = \frac{-1}{\sqrt{84}} \approx -0.109 \]
\[ \phi = \arccos(-0.109) \approx 96.3° \]
مسئله ۵ — گشتاور دستساز (§۳.۶)
سناریو: یه پیچ در (0, 0, 0). نیرویی \vec F = 20\hat j\ \mathrm{N} در نقطهی \vec r = 0.15\hat i\ \mathrm{m} وارد میشه (یه کلید فرانسه با دستهی ۱۵ سانتیمتری در راستای x). گشتاور چقدر ـه؟
راهحل:
\[ \vec \tau = \vec r \times \vec F = (0.15\hat i) \times (20\hat j) = 0.15 \cdot 20 (\hat i \times \hat j) = 3\hat k\ \mathrm{N \cdot m} \]
سه نیوتون-متر گشتاور در جهت +z — یعنی خلاف عقربهی ساعت وقتی از بالا نگاه کنی.
تغییر جهت نیرو: اگه بهجای \hat j نیرو \hat i باشه (در امتداد دسته)، \hat i \times \hat i = 0 → گشتاور صفر. کشیدن دسته پیچ رو نمیچرخونه.
مسئله ۶ — ضرب خارجی و مساحت (§۳.۶)
سناریو: یه مثلث با رأسهای A = (1, 0, 0), B = (0, 2, 0), C = (0, 0, 3). مساحتش چقدر ـه؟
راهحل:
بردارهای دو ضلع از A:
\vec{AB} = -\hat i + 2\hat j + 0\hat k\vec{AC} = -\hat i + 0\hat j + 3\hat k
ضرب خارجی:
\[ \vec{AB} \times \vec{AC} = (2 \cdot 3 - 0)\hat i + (0 - (-1)(3))\hat j + ((-1)(0) - 2(-1))\hat k = 6\hat i + 3\hat j + 2\hat k \]
اندازه:
\[ |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{36 + 9 + 4} = \sqrt{49} = 7 \]
مساحت مثلث = نصف مساحت متوازیالاضلاع = 7/2 = 3.5 واحد مربع.
مسئله ۷ — بردار یکه در جهت دلخواه (§۳.۳)
سناریو: بردار \vec v = 6\hat i - 8\hat j + 10\hat k. بردار یکه در جهت این بردار رو محاسبه کن.
راهحل:
\[ |\vec v| = \sqrt{36 + 64 + 100} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \approx 14.14 \]
\[ \hat v = \frac{\vec v}{|\vec v|} = \frac{6\hat i - 8\hat j + 10\hat k}{10\sqrt{2}} = \frac{3\hat i - 4\hat j + 5\hat k}{5\sqrt{2}} \]
اعشاری:
\[ \hat v \approx 0.424\hat i - 0.566\hat j + 0.707\hat k \]
تست: |\hat v| = \sqrt{0.18 + 0.32 + 0.5} = \sqrt{1} = 1\ ✓
نتیجهگیری
استراتژی برای هر مسئلهی برداری:
- سیستم مختصات انتخاب کن که مسئله رو ساده کنه (گاهی محور مایل)
- بردارها رو به مؤلفه تجزیه کن — همیشه از این شروع کن
- عملیات رو با مؤلفه انجام بده (جمع، ضرب داخلی، ضرب خارجی)
- در انتها، اگه اندازه/زاویه لازمه، بازیابی کن
- بررسی معقول بودن — یکاها، اندازه، جهت، علامت
پیشنمایش §۳.۸
بیست مسئلهی تمرینی بدون راهحل قدمبهقدم — با جوابهای نهایی برای بررسی خودت.
📚 همچنین ببین: Halliday Vol 1, Ch 3 — Worked Examples.
سوالی دارید؟ 🤔
اگه مفهومی نامشخص بود یا سوالی داشتید، اینجا بپرسید. جوابتون در اینجا منتشر میشه.