§ ۱۳.۵ — میدان و نیروی گرانشی

مفهوم میدان گرانشی

میدان گرانشی ناحیه‌ای از فضای اطراف هر جرم است که در آن اثرات گرانشی تجربه می‌شوند. بجای تفکر به اینکه یک جسم مستقیماً جسم دیگری را در فضای خالی می‌کشد، می‌توانیم تصور کنیم که هر جرم میدانی را ایجاد می‌کند که فضا را پر می‌کند، و سایر اجسام به آن میدان پاسخ می‌دهند.

این مفهوم میدان، که توسط انیشتین در نسبیت عام تعمیم یافت، از نظر ریاضیاتی الگان و از نظر فیزیکی قدرتمند است. این مسئله را به دو بخش تقسیم می‌کند: (۱) چگونه جرم میدان ایجاد می‌کند، و (۲) چگونه سایر اجسام به آن میدان پاسخ می‌دهند.

شدت میدان گرانشی

میدان گرانشی \( \vec{g}(\vec{r}) \) به‌عنوان نیروی گرانشی به ازای واحد جرم در یک نقطه تعریف می‌شود:

\[ \vec{g}(\vec{r}) = \frac{\vec{F}}{m} = -G\frac{M}{r^2}\hat{r} \]

که در آن \( M \) جرم منبع ایجادکننده‌ی میدان است، و \( \hat{r} \) بردار یکه‌ی اشاره‌کننده به بیرون از \( M \) است. علامت منفی نشان می‌دهد که میدان به سمت درون (به سوی جرم) اشاره می‌کند.

واحدها: میدان گرانشی دارای واحدهای شتاب (m/s² یا N/kg) است.

در سطح زمین، میدان گرانشی دارای بزرگی:

\[ g = G\frac{M_E}{R_E^2} = \frac{(6.674 \times 10^{-11})(5.972 \times 10^{24})}{(6.371 \times 10^6)^2} \approx 9.81 \, \text{m/s}^2 \]

این شتاب آشنایی است که اجسام در حال سقوط تجربه می‌کنند.

پتانسیل گرانشی

مرتبط با میدان گرانشی، پتانسیل گرانشی \( \Phi(r) \) است:

\[ \Phi(r) = -G\frac{M}{r} \]

رابطه‌ی بین پتانسیل و میدان مشابه رابطه‌ی بین پتانسیل الکتریکی و میدان الکتریکی است:

\[ \vec{g} = -\nabla\Phi = -\frac{d\Phi}{dr}\hat{r} \]

شیب پتانسیل میدان را می‌دهد. در یک بعد:

\[ g_r = -\frac{d\Phi}{dr} = -\frac{d}{dr}\left(-G\frac{M}{r}\right) = -G\frac{M}{r^2} \]

پتانسیل به‌خصوص مفید است زیرا پتانسیل‌های جرم‌های مختلف برهم‌نهی می‌شوند (جمع جبری)، در حالی‌که نیروها افزودن برداری را نیاز دارند. برای پوسته‌ی کروی یکنواخت از جرم \( M \) در شعاع \( R \):

\[ \Phi(r) = \begin{cases} -\frac{GM}{R} & \text{اگر } r \geq R \\ -\frac{GM}{R} & \text{اگر } r < R \end{cases} \]

شگفت‌انگیزترین است که پتانسیل درون پوسته‌ی کروی یکنواخت ثابت است!

سطوح هم‌پتانسیل

سطوح پتانسیل ثابت را سطوح هم‌پتانسیل می‌نامند. برای جرم متقارن کروی، هم‌پتانسیل‌ها کره‌های هم‌مرکز هستند. از آنجایی که \( \vec{g} = -\nabla\Phi \)، میدان همیشه عمود بر سطوح هم‌پتانسیل است.

این هندسه دارای نتایج مهمی است: کاری برای حرکت جرم در امتداد سطح هم‌پتانسیل لازم نیست (زیرا نیرو همیشه عمود بر جابه‌جایی است).

برهم‌نهی میدان‌ها و پتانسیل‌ها

برای چندین جرم \( M_i \) در موقعیت‌های \( \vec{r}_i \)، میدان گرانشی خالص در نقطه‌ی \( \vec{r} \) است:

\[ \vec{g}(\vec{r}) = -G\sum_i \frac{M_i}{|\vec{r} - \vec{r}_i|^2}\hat{r}_i \]

متناوباً، ابتدا پتانسیل را محاسبه کنید (جمع اسکالر):

\[ \Phi(\vec{r}) = -G\sum_i \frac{M_i}{|\vec{r} - \vec{r}_i|} \]

سپس میدان را بیابید: \( \vec{g} = -\nabla\Phi \). این رویکرد اغلب محاسبات را برای ترتیبات متقارن ساده می‌کند.

مسئله‌ی موازی: میدان گرانشی قطعه‌ای پوسته‌ی کروی

پوسته‌ای نیم‌کروی با چگالی یکنواخت را در نظر بگیرید که دارای جرم کل \( M = 1000 \, \text{kg} \) و شعاع \( R = 2.0 \, \text{m} \) است. میدان گرانشی را در مرکز صورت صاف (در مرکز هندسی کره‌ی کامل اصلی) بیابید.

حل:

با توجه به تقارن، ما فقط مؤلفه‌ی عمود بر صورت صاف را باید در نظر بگیریم. عنصر جرم کوچکی \( dm \) را روی پوسته در زاویه‌ی \( \theta \) از محور عمود بر صورت صاف در نظر بگیرید.

برای نیم‌کره، از \( \theta = 0 \) تا \( \theta = \pi/2 \) انتگرال بگیرید:

المان مساحت در مختصات کروی \( dA = R^2\sin\theta \, d\theta \, d\phi \) است.

برای پوسته‌ی یکنواخت، \( \sigma = M/(2\pi R^2) \) (جرم به ازای واحد مساحت نیم‌کره).

عنصر جرم \( dm = \sigma dA = \sigma R^2\sin\theta \, d\theta \, d\phi \) است.

فاصله از هر نقطه روی پوسته تا مرکز \( r = R \) است.

مؤلفه‌ی میدان گرانشی در امتداد محور (عمود بر صورت صاف):

\[ g_z = -\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi/2} G\frac{dm}{R^2}\cos\theta \]

که \( \cos\theta \) مؤلفه در امتداد محور است.

\[ g_z = -G\sigma \int_0^{2\pi}d\phi \int_0^{\pi/2}\sin\theta\cos\theta \, d\theta \]

\[ g_z = -2\pi G\sigma \int_0^{\pi/2}\sin\theta\cos\theta \, d\theta \]

با استفاده از \( \sin\theta\cos\theta = \frac{1}{2}\sin(2\theta) \):

\[ g_z = -\pi G\sigma \int_0^{\pi/2}\sin(2\theta) \, d\theta = -\pi G\sigma \left[-\frac{1}{2}\cos(2\theta)\right]_0^{\pi/2} \]

\[ g_z = -\pi G\sigma \left[-\frac{1}{2}(-1 - 1)\right] = -\pi G\sigma \]

جایگزینی \( \sigma = M/(2\pi R^2) \):

\[ g_z = -\pi G \frac{M}{2\pi R^2} = -\frac{GM}{2R^2} \]

\[ g_z = -\frac{(6.674 \times 10^{-11})(1000)}{2(2.0)^2} = -8.34 \times 10^{-11} \, \text{m/s}^2 \]

علامت منفی نشان می‌دهد که میدان به سوی نیم‌کره (به درون صورت صاف) اشاره می‌کند. بزرگی دقیقاً نیمی از آنی است که برای پوسته‌ی کروی کاملی از همان شعاع وجود داشت.

کاربردهای دنیای واقعی

درک میدان‌های گرانشی محاسبات دقیق در نقشه‌برداری گرانشی (تشخیص تغییرات چگالی زیرسطحی) را امکان‌پذیر می‌سازد، مدل‌سازی درون‌ساختار سیاره‌ای و پیش‌بینی اختلالات در مسیر فضاپیماها. رویکرد میدان همچنین زیربنای درک نیروهای جاری است، که ما آن را در بخش نهایی بررسی خواهیم کرد.

⇧ بازگشت به فهرست فصل