§۱۳.۴ — قوانین کپلر برای حرکت سیاره‌ای

§ ۱۳.۴ — قوانین کپلر برای حرکت سیاره‌ای

زمینه‌ی تاریخی و کشف تجربی

یوهان کپلر، در اوایل قرن هفدهم، دهادهه‌های داده‌های نجومی دقیق توسط تیکو براهه را تحلیل کرد و سه قانون بنیادی را که مدارهای سیاره‌ای را توصیف می‌کنند کشف نمود. این قوانین، که بین ۱۶۰۹ و ۱۶۱۹ منتشر شدند، بیش از ۵۰ سال قبل از نظریه‌ی جاذبه‌ی نیوتن منتشر شدند و زیربنای تجربی فراهم کردند که نیوتن بعداً آن را از طریق قانون جاذبه‌ی عمومی خود توضیح داد.

قانون اول کپلر: شکل مدار

سیاره‌ها در مسیرهای بیضوی به دور خورشید می‌گردند، با خورشید در یکی از کانون‌های بیضی.

بیضی با دو پارامتر تعریف می‌شود:

برای هر بیضی:

مدار زمین دارای \( e \approx 0.017 \) است، که آن را تقریباً دایره‌ای می‌کند. مدار عطارد بیشتر از مرکز دور است با \( e \approx 0.206 \). دنباله‌دارهایی دارای خروج از مرکز بسیار بالایی هستند، و اگر \( e \geq 1 \)، آنها از مسیرهای سهموی یا هذلولی فرار پیروی می‌کنند.

قانون دوم کپلر: پایستگی تکانه‌ی زاویه‌ای

خطی که سیاره را به خورشید وصل می‌کند، مساحت‌های برابر را در زمان‌های برابر جاروب می‌کند.

این نتیجه‌ی مستقیم از پایستگی تکانه‌ی زاویه‌ای است. از آنجایی که گرانش در امتداد خط متصل‌کننده سیاره و خورشید عمل می‌کند، هیچ گشتاوری در مورد خورشید تولید نمی‌کند:

\[ \tau = \vec{r} \times \vec{F} = 0 \]

بنابراین، تکانه‌ی زاویه‌ای ثابت است:

\[ L = mvr\sin\theta = \text{ثابت} \]

سرعت مساحتی (مساحت جاروب‌شده در واحد زمان):

\[ \frac{dA}{dt} = \frac{L}{2m} = \text{ثابت} \]

این توضیح می‌دهد که چرا سیاره‌ها نزدیک حضیض (نزدیک خورشید) سریع‌تر حرکت می‌کنند و نزدیک اوج کند‌تر. زمین در آغاز ژانویه (نزدیک حضیض) سریع‌ترین و در آغاز ژوئیه (نزدیک اوج) آهسته‌ترین حرکت را دارد.

قانون سوم کپلر: دوره و شعاع مداری

مربع دوره‌ی مداری سیاره متناسب است با مکعب نیم‌محور بزرگ آن.

\[ T^2 = \frac{4\pi^2}{GM}a^3 \]

یا به‌طور معادل:

\[ \frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{a_1^3}{a_2^3} \]

برای اجسامی که به دور خورشید می‌گردند، این می‌تواند به واحدهای مناسب بیان شود (دوره بر حسب سال، نیم‌محور بزرگ بر حسب AU):

\[ T^2 = a^3 \]

که 1 AU (واحد نجومی) = 1.496 × 10¹¹ متر است.

این قانون نشان می‌دهد که چرا سیاره‌های درونی سریع‌تر می‌گردند: عطارد (0.387 AU) دوره‌ی ۰.۲۴۱ سال دارد، در حالی‌که نپتون (30.1 AU) به ۱۶۵ سال نیاز دارد.

استخراج از مکانیک نیوتنی

قوانین کپلر به‌طور طبیعی از نظریه‌ی نیوتن برخاسته‌اند. برای مدار دایره‌ای (حالت خاصی از بیضی با \( e = 0 \)):

\[ G\frac{Mm}{r^2} = m\frac{v^2}{r} \]

سرعت مداری \( v = \sqrt{GM/r} \) است. دوره:

\[ T = \frac{2\pi r}{v} = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}} \]

مربع کردن:

\[ T^2 = \frac{4\pi^2 r^3}{GM} \]

برای بیضی‌ها، \( r \) با نیم‌محور بزرگ \( a \) جایگزین می‌شود، که قانون سوم کپلر را دقیقاً می‌دهد.

مسئله‌ی موازی: سیستم ستاره‌ی دوتایی

دو ستاره با جرم‌های \( M_1 = 2.0 M_{\odot} \) و \( M_2 = 1.5 M_{\odot} \) (که در آن \( M_{\odot} = 1.989 \times 10^{30} \, \text{kg} \) جرم خورشید است) به دور مرکز جرم مشترک خود با جدایی \( d = 5.0 \times 10^{11} \, \text{m} \) (تقریباً 3.3 AU) می‌گردند.

تعیین کنید: (۱) دوره‌ی مداری، (۲) سرعت‌های مداری هرستاره، و (۳) فاصله‌ی هرستاره از مرکز جرم.

حل:

شرط مرکز جرم:

\[ M_1 r_1 = M_2 r_2 \]

که در آن \( r_1 \) و \( r_2 \) فاصله‌های از مرکز جرم هستند. همچنین:

\[ r_1 + r_2 = d = 5.0 \times 10^{11} \, \text{m} \]

حل:

\[ r_1 = \frac{M_2}{M_1 + M_2}d = \frac{1.5}{3.5}(5.0 \times 10^{11}) = 2.14 \times 10^{11} \, \text{m} \]

\[ r_2 = \frac{M_1}{M_1 + M_2}d = \frac{2.0}{3.5}(5.0 \times 10^{11}) = 2.86 \times 10^{11} \, \text{m} \]

برای مدارهای دوتایی، شکل نیوتنی قانون سوم کپلر اعمال می‌شود:

\[ T^2 = \frac{4\pi^2 d^3}{G(M_1 + M_2)} \]

\[ T^2 = \frac{4\pi^2 (5.0 \times 10^{11})^3}{(6.674 \times 10^{-11})(3.5 \times 1.989 \times 10^{30})} \]

\[ T^2 = \frac{4.93 \times 10^{34}}{4.64 \times 10^{20}} = 1.06 \times 10^{14} \, \text{s}^2 \]

\[ T = 3.26 \times 10^7 \, \text{s} \approx 376 \, \text{روز} \approx 1.03 \, \text{سال} \]

سرعت‌های مداری:

\[ v_1 = \frac{2\pi r_1}{T} = \frac{2\pi(2.14 \times 10^{11})}{3.26 \times 10^7} = 4.13 \times 10^4 \, \text{m/s} \approx 41.3 \, \text{km/s} \]

\[ v_2 = \frac{2\pi r_2}{T} = \frac{2\pi(2.86 \times 10^{11})}{3.26 \times 10^7} = 5.51 \times 10^4 \, \text{m/s} \approx 55.1 \, \text{km/s} \]

توجه کنید که ستاره‌ی پرتر‌جرم کند‌تر حرکت می‌کند (نزدیک‌تر به مرکز جرم)، در حالی‌که ستاره‌ی کم‌تر‌جرم سریع‌تر می‌گردد. بردارهای تکانه‌ی آنها همیشه در جهات مخالف اشاره می‌کنند و لغو می‌شوند: \( M_1 v_1 = M_2 v_2 \).

کاربردهای دنیای واقعی و توسعه‌ها

قوانین کپلر اختریشناسان را قادر می‌سازد تا جرم ستاره‌های در سیستم‌های دوتایی را تعیین کنند، بازگشت دنباله‌دارها را پیش‌بینی کنند، و مدارهای ماهواره‌ای را طراحی کنند. مدار تلسکوپ فضایی هابل با احتیاط با استفاده از این اصول محاسبه شد. کشف سیاره‌های خارج از منظومه‌ی شمسی در دوران مدرن بر قوانین کپلر تکیه می‌کند: تغییرات دوره‌ای در نور ستاره نشان‌دهنده‌ی سیاره‌های در حال گردش است، و رابطه‌ی دوره-شعاع، جرم سیاره‌ها و خصوصیات مداری آنها را تعیین می‌کند.

در ۱۶۸۷، نیوتن ثابت کرد که قوانین کپلر به‌عنوان نتایج ریاضی دقیق قانون معکوس‌مربع او برخاسته‌اند، و شاید بزرگ‌ترین ترکیب در تاریخ فیزیک را فراهم کردند—آسمان را با مکانیک زمینی متحد کردند.

⇧ بازگشت به فهرست فصل

سوالی دارید؟ 🤔

اگه مفهومی نامشخص بود یا سوالی داشتید، اینجا بپرسید. جوابتون در اینجا منتشر می‌شه.