§۱۴.۳ — اصل ارشمیدس و شناوری

وقتی جسمی در مایع غوطه‌ور می‌شه، فشار متفاوتی که روی بخش‌های مختلف جسم وارد می‌شه یک نیروی خالص به‌بالا ایجاد می‌کنه. این پدیده در اصل ارشمیدس خلاصه می‌شه: جسمی که کاملاً یا تقسیمی در مایع غوطه‌ور باشه، توسط نیروی شناوری به‌بالا اثر می‌گذاره برابر با وزن مایع جابه‌جایی‌شده.

اشتقاق نیروی شناوری

جسمی با حجم \( V_{\text{obj}} \) را در نظر بگیر که در مایعی با چگالی \( \rho_f \) غوطه‌ور. فشار روی سطح پایینی بیشتر از فشار روی سطح بالایی (از §۱۴.۲). این تفاوت فشار عمود بر جسم در هر نقطه عمل می‌کنه.

برای جسم غوطه‌ور، فرض کن آن‌رو موقتاً با مایعی که همون فضا رو پر کنه جایگزین کنی. این "مایع جابه‌جایی‌شده" جرم \( m_f = \rho_f V_{\text{obj}} \) داره و در تعادل در مایع اطراف. نیروی خالص به‌بالایی که آن‌رو نگه می‌داره:

\[ F_B = m_f g = \rho_f V_{\text{obj}} g \]

این نیرو نیروی شناوری ارشمیدس ـه، نیروی فشار به‌بالا روی جسم. در مرکز شناوری عمل می‌کنه، که با مرکز جرم مایع جابه‌جایی‌شده برابر ـه.

درک کلیدی: نیروی شناوری فقط به چگالی مایع، حجم جسم و گرانش بستگی داره—نه ماده‌ی جسم یا عمق‌اش (تا آن‌جا که جسم کاملاً غوطه‌ور).

شرط شناوری یا فرو رفتن

جسمی در مایع دو نیرو حس می‌کنه:

نیروی خالص: \[ F_{\text{net}} = F_B - W = (\rho_f - \rho_{\text{obj}}) V_{\text{obj}} g \]

سه حالت:

  1. \( \rho_{\text{obj}} < \rho_f \) (جسم کمتر متراکم از مایع) → \( F_{\text{net}} > 0 \) → جسم شناور
  2. \( \rho_{\text{obj}} = \rho_f \) (شناوری بی‌طرف) → \( F_{\text{net}} = 0 \) → جسم معلق
  3. \( \rho_{\text{obj}} > \rho_f \) (جسم متراکم‌تر از مایع) → \( F_{\text{net}} < 0 \) → جسم فرو می‌رود

برای جسم شناور در سطح، شناوری = وزن: \[ \rho_f V_{\text{غوطه‌ور}} g = \rho_{\text{obj}} V_{\text{کل}} g \]

\[ \frac{V_{\text{غوطه‌ور}}}{V_{\text{کل}}} = \frac{\rho_{\text{obj}}}{\rho_f} \]

این دلیل اینه که کوه یخ (چگالی ≈ ۹۰۰ kg/m³) در آب اقیانوس (≈ ۱۰۲۵ kg/m³) با حدود ۸۸ درصد غوطه‌ور شناور ـه: \( (900/1025) \approx 0.88 \).

مثال محاسبه‌ای: قایق چوبی شناور

قایق چوبی از چوب کاج با چگالی \( \rho_{\text{چوب}} = 600 \) kg/m³ ساخته‌شده. قایق ابعاد ۴ متر × ۳ متر × ۰.۵ متر (طول × عرض × ضخامت) داره. بار دارایی با جرم \( m_{\text{بار}} = 2000 \) kg حمل می‌کنه. در آب شیرین (\( \rho_{\text{آب}} = 1000 \) kg/m³) شناور می‌شه؟

مرحله ۱: جرم کل \[ m_{\text{چوب}} = \rho_{\text{چوب}} \times V_{\text{قایق}} = 600 \times (4 \times 3 \times 0.5) = 600 \times 6 = 3600 \text{ kg} \] \[ m_{\text{کل}} = 3600 + 2000 = 5600 \text{ kg} \]

مرحله ۲: وزن برای نگهداشتن \[ W_{\text{کل}} = 5600 \times 9.8 = 54,880 \text{ N} \]

مرحله ۳: بیشترین نیروی شناوری (اگه کاملاً غوطه‌ور) \[ F_{B,\text{max}} = \rho_{\text{آب}} \times V_{\text{قایق}} \times g = 1000 \times 6 \times 9.8 = 58,800 \text{ N} \]

مرحله ۴: بررسی شناوری از آن‌جایی که \( F_{B,\text{max}} > W_{\text{کل}} \) (۵۸,۸۰۰ N > ۵۴,۸۸۰ N)، قایق شناور می‌شه.

مرحله ۵: یافتن عمق غوطه‌ور در تعادل: \( F_B = W_{\text{کل}} \) \[ \rho_{\text{آب}} \times g \times (4 \times 3 \times d) = 54,880 \] \[ 1000 \times 9.8 \times 12d = 54,880 \] \[ d = \frac{54,880}{117,600} \approx 0.467 \text{ m} \approx 46.7 \text{ cm} \]

قایق تا حدود ۴۷ سانتی‌متر فرو می‌رود و ۳ سانتی‌متر بر سطح.

شناوری در گازها

اصل ارشمیدس برای گازها هم تعریف می‌شه. بالون هوای گرم شناور می‌شه چون هوای گرم (\( \rho_{\text{هوای گرم}} \approx 1.0 \) kg/m³) کمتر متراکم از هوای باز بیرون (\( \rho_{\text{هوای خنک}} \approx 1.2 \) kg/m³). نیروی شناوری روی بالونی ۲۰۰۰ متر مکعب:

\[ F_B = 1.2 \times 2000 \times 9.8 \approx 23,500 \text{ N} \approx 2400 \text{ kg}_f \]

کاهش وزن بالون و بار، نیروی بالا‌رفتندگی خالص همه‌چیز ـه که سبد رو بالا می‌برده.

وزن ظاهری در مایع

وقتی جسمی غوطه‌ور می‌شه، وزن ظاهری‌اش (چیزی که ترازو می‌خونه): \[ W_{\text{ظاهری}} = W - F_B = mg - \rho_f V g \]

یک انسان ۷۰ کیلوگرمی در آب سبک‌تر به نظر می‌رسه چون شناوری نیروی عادی رو از ترازو کاهش می‌ده.

چه چیزی رو باید یاد گرفته باشی

پیش‌نمایش §۱۴.۴

پویایی سیالات و معادله‌ی تداوم: چگونه مایعات از طریق لوله‌ها و دور اجسام جریان می‌یابن.

📚 همچنین ببین: Halliday Vol 2, Ch 14, §14.3.

⇧ بازگشت به فهرست فصل

سوالی دارید؟ 🤔

اگه مفهومی نامشخص بود یا سوالی داشتید، اینجا بپرسید. جوابتون در اینجا منتشر می‌شه.