۱۰. گرداب هوا
شرح و تحلیل مسئله
صورت مسئله رسمی
«یک آهنربای میلهای کوچک در کف ظرفی پر از مایع قرار میدهید و با استفاده از یک همزن مغناطیسی آن را به چرخش درمیآورید. بالاتر از یک سرعت چرخش خاص، یک کانال هوای نازک تشکیل میشود که از سطح مایع تا آهنربای در حال چرخش امتداد دارد. این پدیده را بررسی و توضیح دهید.»
ساختار گرداب و توزیع فشار
آهنربای چرخنده مایع پیرامون خود را به چرخش درمیآورد و یک گرداب رانکین ایجاد میکند. در این مدل دو ناحیه وجود دارد:
ناحیهی مرکزی (جسم صلب): برای $r leq a$:
$$v_theta(r) = frac{Gamma, r}{2pi a^2} = omega, r$$
ناحیهی خارجی (گرداب آزاد): برای $r > a$:
$$v_theta(r) = frac{Gamma}{2pi r}$$
که در آن $Gamma$ گردش (circulation) و $a$ شعاع هستهی گرداب است. معادلهی اویلر در راستای شعاعی برای جریان محوری-متقارن:
$$frac{dp}{dr} = frac{rho, v_theta^2}{r}$$
انتگرالگیری از $r = infty$ تا $r = a$ (ناحیهی گرداب آزاد) $rhoomega^2a^2/2$ کاهش فشار میدهد، و انتگرال از $r = a$ تا $r = 0$ (ناحیهی جسم صلب) $rhoomega^2a^2/2$ دیگر اضافه میکند. مجموع کاهش فشار از محیط تا مرکز:
$$Delta p = p_infty – p_{r=0} = rho,omega^2, a^2$$
شرط بحرانی تشکیل کانال هوا
کانال هوا وقتی تشکیل میشود که کاهش فشار در مرکز از فشار هیدرواستاتیک ستون مایع بالای آهنربا فراتر رود. اگر عمق مایع $h$ باشد:
$$Delta p geq rho, g, h$$
با جایگذاری:
$$rho,omega_c^2, a^2 = rho, g, h$$
$$boxed{omega_c = sqrt{frac{g h}{a^2}}}$$
بالاتر از $omega_c$، قیف گرداب از سطح مایع تا آهنربا امتداد مییابد و یک کانال هوای باریک پایدار ایجاد میشود. شکل سطح مایع در گرداب آزاد از رابطهی برنولی:
$$z(r) = z_0 – frac{Gamma^2}{8pi^2 g, r^2}qquad (r > a)$$
این سهمی معکوس نشان میدهد سطح مایع در مرکز گرداب بهشدت پایین میرود.
پارامترها
$omega_c$ — سرعت بحرانی (rad/s): زیر این مقدار کانال تشکیل نمیشود
$h$ — عمق مایع (cm): افزایش $h$ مقدار $omega_c$ را بالا میبرد ($omega_c propto sqrt{h}$)
$a$ — شعاع هستهی گرداب ≈ شعاع آهنربا (mm): کاهش $a$ باعث کاهش $omega_c$ میشود
$D$ — قطر ظرف (cm): دیوارهها اثر جریان محیطی را محدود میکنند
$mu$ — ویسکوزیتهی مایع (mPa·s): بر پروفیل سرعت و گذار تاثیر دارد
$rho$ — چگالی مایع (kg/m³): در شرط بحرانی حذف میشود ولی بر گشتاور مغناطیسی اثر دارد
راهاندازی آزمایش
برای اندازهگیری $omega_c$ بر حسب $h$ و $a$:
- ظرف استوانهای شفاف را با مایع با عمقهای مختلف پر کنید.
- سرعت همزن مغناطیسی را بهآرامی افزایش دهید و سرعتی که در آن کانال هوا ناگهان ظاهر میشود را ثبت کنید.
- نمودار $omega_c^2$ بر حسب $h$ را رسم کنید — باید خطی باشد با شیب $2g/a^2$.
- آزمایش را با آهنرباهای دارای شعاعهای مختلف تکرار کنید تا وابستگی به $a$ بررسی شود.
- تصویربرداری از جانب با نور پسزمینه، عمق قیف هوا را بر حسب $omega – omega_c$ نشان میدهد.
اشتقاق کامل شکل سطح آزاد
گرداب رانکین دو ناحیه دارد که باید جداگانه حل شوند و در $r = a$ به هم دوخته شوند:
ناحیهی داخلی — چرخش جسم صلب ($r leq a$)
معادلهی اویلر: $frac{dp}{dr} = rhoomega^2 r$. انتگرالگیری:
$$p(r) = p(0) + frac{1}{2}rhoomega^2 r^2$$
روی سطح آزاد ($p = p_{atm}$) با توجه به تعادل هیدرواستاتیک:
$$boxed{z_{rm in}(r) = z_0 + frac{omega^2 r^2}{2g}} qquad r leq a$$
یک سهمی رو به بالا — مرکز پایینترین نقطه است.
ناحیهی خارجی — گرداب آزاد ($r > a$)
$v_theta = omega a^2/r$. برنولی در امتداد سطح آزاد (از $rtoinfty$ که $z=h$):
$$frac{1}{2}rhofrac{omega^2 a^4}{r^2} + rho g z = rho g h$$
$$boxed{z_{rm out}(r) = h – frac{omega^2 a^4}{2g r^2}} qquad r > a$$
یک سهمی معکوس که با نزدیک شدن به مرکز تند پایین میرود.
شرط تطابق در $r = a$
$z_{rm in}(a) = z_{rm out}(a)$ باید برقرار باشد:
$$z_0 + frac{omega^2 a^2}{2g} = h – frac{omega^2 a^2}{2g}$$
$$boxed{z_0 = h – frac{omega^2 a^2}{g}}$$
پس شکل کامل سطح آزاد:
عمق مرکز: $z(0) = h – omega^2 a^2/g$
شرط بحرانی ($z(0)=0$): $omega_c = sqrt{g h}/a$
قطر کانال هوا بالاتر از $omega_c$
وقتی $omega > omega_c$، سطح آزاد در محور منفی میشد — به جایش یک کانال با شعاع $r_c$ تشکیل میشود که $z(r_c) = 0$. دو حالت داریم:
$z_{rm in}(r_c) = 0$:
$$r_c = asqrt{2!left(1 – frac{omega_c^2}{omega^2}right)}$$
در $omega = omega_c$: $r_c = 0$ — کانال تازه باز میشود
در $omega = sqrt{2},omega_c$: $r_c = a$ — کانال به لبهی هسته میرسد
چرا کانال کاملاً به آهنربا میرسد؟
مسئله صراحتاً میگوید کانال از سطح مایع تا خود آهنربا امتداد دارد. این به سه دلیل است:
- توزیع فشار یکنواخت در ارتفاع: جریان رانکین در هر مقطع افقی یکسان است. کمینهی فشار همواره روی محور ($r=0$) است — در همهی اعماق. پس اگر در سطح کانال باز شود، شرط باز ماندن در کف هم برقرار است.
- پایداری توپولوژیک: یک ستون هوای بسته در مایع — اگر در وسط باریک شود، فشار برنولی آن را بیشتر باریک میکند (گلوگاه ناپایدار). ستون مستقیم از بالا تا پایین پایدارترین شکل است.
- آهنربا بهعنوان لنگر: آهنربا در کف میچرخد و بیشترین گشتاور را به مایع نزدیک به خود میدهد. هستهی گرداب مستقیماً روی آهنرباست — پایینترین نقطهی فشار دقیقاً روی آهنربا قرار دارد.
نقش تنش سطحی — چرا کانال «نازک» است؟
تنش سطحی $sigma$ در فصل مشترک هوا-مایع یک فشار اضافی ایجاد میکند. برای کانال استوانهای با شعاع $r_c$:
$$Delta p_{rm ST} = frac{sigma}{r_c}$$
شرط بحرانی واقعی (با تنش سطحی):
$$rhoomega_c^2 a^2 = rho g h + frac{sigma}{r_c}$$
وقتی کانال خیلی باریک است ($r_c to 0$)، جملهی $sigma/r_c to infty$ تشکیل کانال را مقاومت میکند. حداقل شعاع قابل مشاهده توسط طول مویینگی تعریف میشود:
$$lambda_c = sqrt{frac{sigma}{rho g}} approx 2.7,text{mm} quadtext{(آب)}$$
$$We = frac{rhoomega^2 a^2, r_c}{sigma}$$
کانال «نازک» به این معناست که $We sim 1$ — تنش سطحی و نیروی گرداب در تعادلاند. برای $We gg 1$ کانال پهنتر و پایدارتر است.
این توضیح میدهد که چرا با مایعات کمتنش ($sigma$ کوچکتر، مثل محلول صابون) کانال در همان $omega_c$ باریکتر است، و با مایعات پرتنش ($sigma$ بزرگ) کانال ناگهانیتر و پهنتر باز میشود.
تحلیل ابعادی — چرا چگالی حذف میشود؟
در شرط $omega_c = sqrt{gh}/a$، هیچ اثری از $rho$ یا $mu$ وجود ندارد. دلیل فیزیکی:
هر دو طرف به $rho$ تناسب دارند — پس $rho$ حذف میشود. پیشبینی آزمایشی قوی: $omega_c$ برای آب، روغن، گلیسرول (با تفاوت چگالی تا ۳×) باید یکسان باشد. این یکی از بهترین تستهای مدل است.
ویسکوزیته $mu$ در مدل ایدهآل ظاهر نمیشود زیرا مدل رانکین ذاتاً بدون اصطکاک است. در واقعیت، $mu$ شعاع هسته $a$ و شکل گذار را تغییر میدهد ولی نه $omega_c$ را مستقیم.
شبیهسازی تعاملی با Python
چهار نمودار: (۱) پروفیل سرعت رانکین، (۲) شکل سطح آزاد $z(r)$، (۳) شعاع کانال $r_c$ بر حسب $omega/omega_c$، (۴) سرعت بحرانی بر حسب عمق.
- نمودار ۱: پروفیل رانکین — افزایش خطی در هسته، کاهش $1/r$ در خارج. نقطهی ماکزیمم سرعت دقیقاً در $r = a$.
- نمودار ۲: در $omega < omega_c$: سطح گود میشود اما به کف نمیرسد. در $omega = omega_c$: سطح دقیقاً محور را لمس میکند. در $omega > omega_c$: کانال هوا تشکیل میشود.
- نمودار ۳: $omega_c propto sqrt{h}/a$ — برای تأیید آزمایشی، نمودار $omega_c^2$ بر حسب $h$ باید خط راست بدهد.
مراجع علمی
- Tritton, D. J., Physical Fluid Dynamics, 2nd ed., Oxford, 1988 — فصل گردابهها و جریان چرخشی.
- Acheson, D. J., Elementary Fluid Dynamics, Oxford, 1990 — گرداب رانکین و سطح آزاد.
- Kundu, P. K., Cohen, I. M., Fluid Mechanics, 6th ed., Academic Press, 2015 — فصل جریان دوار.
- Vatistas, G. H., “A note on liquid vortex sloshing and Kelvin’s equilibria,” J. Fluid Mech. 217 (1990).
- Halász, G., Gyure, B., Jánosi, I. M., Szabó, K. G., Tél, T., “Vortex flow generated by a magnetic stirrer,” American Journal of Physics 75(12), 1092–1098 (2007). [arXiv: physics/0702199] — مستقیمترین مرجع: همین آزمایش (همزن مغناطیسی در مخزن استوانهای) با اندازهگیری PIV و مشخصهسازی پروفیل سرعت رانکین.
- Escudier, M. P., “Observations of vortex breakdown in an open cylindrical container with a rotating bottom,” Experiments in Fluids 2, 189–196 (1984). [DOI: 10.1007/BF00196990] — نقشهی تجربی شرایط بحرانی (نسبت ابعادی H/R بر حسب عدد رینولدز) برای تشکیل کانال هوا در هندسهی معادل.
منابع پیشنهادی
سوالات و بحث
برای مشاهده و ارسال سوال باید عضو IYPT و وارد حساب کاربری باشید.
← ورود به حساب