۹. بوکه عکاسی

صورت مسئله رسمی

بوکه اثری است که در عکس‌هایی که اشیاء در فاصله‌های مختلف از دوربین را نشان می‌دهند و هم نواحی تیز و هم نواحی خارج از فوکوس دارند، مشاهده می‌شود. اگر یک شکاف جلوی لنز دوربین قرار داده شود، تصویر ممکن است تحریف‌های ناهمسانگرد (anisotropic) غیرمعمولی در نواحی خارج از فوکوس داشته باشد، در حالی که نواحی در فوکوس بدون تحریف و تیز می‌مانند. بررسی کنید که خواص و وضوح تصاویر حاصل چگونه به پارامترهای مرتبط وابسته‌اند.

اپتیک هندسی — دایره‌ی گیجی

وقتی یک چشمه‌ی نقطه‌ای خارج از صفحه‌ی فوکوس دوربین باشد، مخروط نور از لنز به جای همگرا شدن در صفحه‌ی سنسور، به‌صورت یک دایره‌ی گیجی (Circle of Confusion) روی آن می‌افتد:

$$c = frac{f^2}{N,d_o}left|frac{d_o – d_text{focus}}{d_text{focus}}right|$$

که در آن:

قانون لنز نازک برای تبدیل فاصله‌ی شیء به تصویر:

$$frac{1}{d_o} + frac{1}{d_i} = frac{1}{f}$$

عمق میدان

عمق میدان (DoF) ناحیه‌ای از فضا است که در آن دایره‌ی گیجی از آستانه‌ی قابل قبول c_max کوچک‌تر است. برای عکاسی دیجیتال معمولاً c_max ≈ d_sensor/1500:

$$text{DoF} approx frac{2,N,c_text{max},d_o^2}{f^2}$$

رابطه‌ی کلیدی: N کوچک‌تر (دیافراگم بازتر) → DoF کمتر → بوکه قوی‌تر.

اپتیک فوریه — شکل بوکه

در اپتیک فرانهوفر (میدان دور)، توزیع شدت نور در صفحه‌ی کانونی تبدیل فوریه‌ی دوبُعدی تابع دیافراگم A(u,v) است. این تابع تابع پخش نقطه (PSF) نام دارد:

$$text{PSF}(x,y) = left|mathcal{F}{A(u,v)}right|^2$$

برای روزنه‌ی دایره‌ای با شعاع R (قطر D = 2R):

$$text{PSF}(r) = left[frac{2J_1(pi D r/lambda f)}{pi D r/lambda f}right]^2$$

که J₁ بسل مرتبه‌ی اول است. اولین صفر در r = 1.22λf/D (معیار Rayleigh برای تفکیک).

پراش و حد بهینه

در دیافراگم‌های خیلی کوچک، پراش غالب می‌شود و تاری ناخواسته ایجاد می‌کند. بهترین عدد f از تعادل بین خطای هندسی (aberration) و پراش (diffraction) به دست می‌آید:

$$N_text{opt} approx sqrt{frac{f cdot c_text{max}}{1.22,lambda}}$$

برای f = 50mm، c_max = 0.03mm، λ = 0.55μm: N_opt ≈ f/8.

بوکه‌ی گربه‌چشمی (Cat’s-Eye)

در گوشه‌های فریم، روزنه از دید سنسور بیضی‌شکل دیده می‌شود (vignetting مکانیکی: لوله‌ی لنز بخشی از روزنه را می‌پوشاند). نتیجه: بوکه‌های بیضوی به‌جای دایره — Cat’s-Eye bokeh که در عکاسی سینمایی دلخواه است.

راه‌اندازی آزمایش

ساخت فیلتر دیافراگم

• مقوای سیاه برش بدهید: اشکال مختلف (دایره، شش‌ضلع، قلب، ستاره).
• فیلتر را روی لنز بگذارید (یا جلوی لنز با نگه‌دارنده).
• از پس‌زمینه‌ی نقاط نور (چراغ‌های LED، روشنایی شهری) عکس بگیرید.
• فاصله‌ی شیء مورد فوکوس را ثابت نگه دارید و بوکه را در فواصل مختلف بررسی کنید.

اندازه‌گیری‌های کمی

• قطر دایره‌ی گیجی را برای فواصل مختلف اندازه بگیرید و با فرمول مقایسه کنید.
• عمق میدان را با تغییر عدد f اندازه بگیرید.
• PSF را با عکس از یک منبع نقطه‌ای (LED از فاصله‌ی زیاد) استخراج کنید.
• FFT تصویر بوکه را بگیرید و با شکل روزنه مقایسه کنید.

هسته‌ی مسئله — شکاف و تحریف ناهمسانگرد

صورت مسئله به‌صراحت از شکاف (slit) جلوی لنز صحبت می‌کند که «تحریف‌های ناهمسانگرد غیرمعمول» ایجاد می‌کند. این ناهمسانگردی دقیقاً از تبدیل فوریه‌ی تابع روزنه ناشی می‌شود:

پهنای PSF در هر جهت رابطه‌ی معکوس با بُعد روزنه در آن جهت دارد:

$$Delta x_text{PSF} = frac{lambda f}{w}, qquad Delta y_text{PSF} = frac{lambda f}{H}$$

چون $H gg w$، داریم $Delta x gg Delta y$ — PSF در جهت $x$ (عمود بر شکاف) بسیار کشیده‌تر از جهت $y$ (موازی شکاف) است. نتیجه: نقاط خارج از فوکوس به‌جای دایره، به‌صورت خطوط افقی بلند روی سنسور ظاهر می‌شوند.

نسبت ابعاد شکاف و میزان ناهمسانگردی

$$text{نسبت کشیدگی بوکه} = frac{Delta x_text{PSF}}{Delta y_text{PSF}} = frac{H}{w}$$

شکافی با نسبت $H/w = 10$ بوکه‌ای ۱۰ برابر کشیده‌تر در جهت عرضی ایجاد می‌کند. این رابطه‌ی خطی بین هندسه‌ی شکاف و تحریف بوکه قابل تأیید آزمایشی است.

شبیه‌سازی تعاملی با Python — روزنه و PSF

این شبیه‌سازی تبدیل فوریه‌ی دوبُعدی شکل‌های مختلف روزنه را محاسبه و PSF (بوکه) متناظر را نشان می‌دهد:

مراجع علمی

1. Goodman, J.W. (2005). Introduction to Fourier Optics, 3rd ed. Roberts & Company.
2. Hecht, E. (2016). Optics, 5th ed. Pearson.
3. Born, M. & Wolf, E. (2013). Principles of Optics, 7th ed. Cambridge University Press.
4. Nasse, H.H. (2010). Depth of Field and Bokeh. Carl Zeiss Camera Lens Division Technical Note.
5. IYPT 2027 Problem 9. iypt.org

واژه‌نامه‌ی تخصصی