پیوست ۲ — کاوندیش G را چگونه اندازه گرفت؟

از پیوست ۱ نتیجه گرفتیم که نیوتون شکل قانون گرانش (F = GMm/r²) رو داشت ولی نه عدد G رو، و نه به همین دلیل جرم مطلق زمین یا خورشید رو. برای گذشتن از این گره، یه راه بیش‌تر نبود: مستقیماً در آزمایشگاه، نیروی گرانشی بین دو جرم معلوم رو اندازه بگیریم.

مشکل: این نیرو خیلی خیلی کوچیکه. برای دو گلوله‌ی ۱ کیلوگرمی به فاصله‌ی ۱ متر:

\[ F = G\,\frac{Mm}{r^2} \approx 6.67 \times 10^{-11}\ \mathrm{N} \]

این حدود وزن یه گلبول قرمز خون ـه. چطور می‌شه چنین نیرویی رو در حضور اصطکاک، جریان هوا، ارتعاش زمین، و بار الکتریکی از تنه‌ی جسم جدا کرد؟

جواب هنری کاوندیش در ۱۷۹۸: ترازوی پیچشی — یه دستگاه با هوش عجیب.

ایده‌ی اصلی: پیچش سیم، نه فشار روی ترازو

اگه بخوای نیروی ۱۰⁻¹⁰ نیوتون رو با ترازوی معمولی اندازه بگیری، باید دقتش از این هم بهتر باشه — که غیرممکن ـه. کاوندیش این رو دور زد: به‌جای این‌که نیرو رو مستقیماً بسنجه، اجازه داد نیرو یه سیم نازک رو بپیچونه، و به‌جای نیرو، زاویه‌ی پیچش رو اندازه گرفت.

سیم نازک، حتی برای پیچش‌های خیلی کوچیک، یه گشتاور مقاوم می‌ده — و اگه سیم رو به‌قدر کافی نازک انتخاب کنی، این مقاومت هم خیلی کم می‌شه. پس با نیروی ضعیف هم پیچش قابل مشاهده‌ای می‌گیری.

دستگاه کاوندیش

اسکلت اصلی:

• میله‌ی افقی چوبی به طول L ≈ 1.83 m (شش پا)، تعلیق‌شده از وسط با سیم نازک نقره‌ای به طول یک متر.
• دو گلوله‌ی سربی کوچیک به جرم m ≈ 0.73 kg هر کدوم، در دو سر میله.
• دو گلوله‌ی سربی بزرگ به جرم M ≈ 158 kg هر کدوم، که با یه سیستم اهرمی از بیرون به یه فاصله‌ی مشخص r ≈ 0.23 m از گلوله‌های کوچیک قرار می‌گرفتن.
• آینه‌ی کوچیک روی میله، که نور یه شمع رو به دیوار روبه‌رویی می‌تابوند — هر ذره پیچش میله، آینه رو کج می‌کرد و لکه‌ی نور رو روی دیوار چند سانتی‌متر جابه‌جا می‌کرد (تقویت اپتیکی!).
• جعبه‌ی چوبی بزرگ دور تمام دستگاه — برای جلوگیری از جریان هوا. کاوندیش از بیرون جعبه، از طریق تلسکوپ، آینه رو می‌دید (چون خودش نزدیک نبود که با گرمای بدنش هوا رو حرکت بده).

اتاق کامل رو در کلبه‌ای در حیاطش نگه داشت، از راه دور دستکاری می‌کرد. آزمایش‌ها ساعت‌ها طول می‌کشیدن.

ریاضی: از پیچش به G

گام ۱ — قانون پیچش (Hooke برای چرخش)

هر سیم پیچشی از قانون هوک تبعیت می‌کنه: گشتاور مقاوم متناسب با زاویه‌ی پیچش ـه:

\[ \tau_\text{wire} = -\kappa\, \theta \]

که κ ثابت پیچشی سیم ـه (بستگی به جنس و ابعاد سیم داره).

گام ۲ — تعادل: گرانش سیم رو پیچونده

وقتی گلوله‌های بزرگ نزدیک گلوله‌های کوچیک قرار می‌گیرن، هر یک نیروی گرانشی F = GMm/r² وارد می‌کنن. این دو نیرو (چون در دو سر میله ـه) یه گشتاور می‌سازن که میله رو می‌چرخونه:

\[ \tau_\text{grav} = 2 \cdot F \cdot (L/2) = F L = \frac{G M m L}{r^2} \]

در حالت تعادل، گشتاور گرانشی برابر گشتاور مقاوم سیمه:

\[ \frac{G M m L}{r^2} = \kappa\, \theta \]

می‌شه G رو حل کرد:

\[ G = \frac{\kappa\, \theta\, r^2}{M m L} \]

هر چیز سمت راست معلوم ـه: M, m, L, r رو با متر و ترازو اندازه می‌گیریم؛ θ رو از جابه‌جایی لکه‌ی نور روی دیوار. تنها چیز مجهول: κ، ثابت پیچشی سیم. چطور اونو حساب کنیم؟

گام ۳ — κ از دوره‌ی نوسان

اگه میله رو یه تلنگر بزنی (بدون گلوله‌های بزرگ)، حول محور خودش نوسان می‌کنه — دقیقاً مثل آونگ، ولی به‌جای گرانش، مقاومت پیچشی سیم به‌عنوان نیروی بازگرداننده کار می‌کنه. این «آونگ پیچشی» ـه.

از فیزیک آونگ پیچشی:

\[ T_\text{oscillation} = 2\pi \sqrt{\frac{I}{\kappa}} \]

که I گشتاور اینرسی سیستم (میله + گلوله‌ها) ـه:

\[ I = 2 m (L/2)^2 = \frac{m L^2}{2} \]

(فرض شده جرم میله ناچیز و گلوله‌ها نقطه‌ای — تقریب مفیدی که خطا کوچیک می‌ده)

پس:

\[ \kappa = \frac{4\pi^2 I}{T^2} = \frac{2 \pi^2 m L^2}{T^2} \]

گام ۴ — فرمول نهایی

κ رو در معادله‌ی G جای‌گذاری می‌کنیم:

\[ G = \frac{\theta\, r^2}{M m L} \cdot \frac{2\pi^2 m L^2}{T^2} = \frac{2 \pi^2\, \theta\, r^2\, L}{M\, T^2} \]

زیبایی این فرمول:

\[ \boxed{G = \frac{2 \pi^2\, \theta\, r^2\, L}{M\, T^2}} \]

• جرم گلوله‌ی کوچیک m از فرمول ناپدید شد! (چون هم در گشتاور گرانشی و هم در گشتاور اینرسی ظاهر می‌شد و کنسل شد.)
• همه‌ی متغیرها اندازه‌گیری‌های خیلی معمولی‌ان: θ زاویه (اپتیکی)، r و L طول (متر)، M جرم (ترازو)، T زمان (ساعت).
• بدون این‌که به زمین اشاره‌ای کنیم، G رو گرفتیم. فقط دو جسم آزمایشگاهی.

مثال عددی

با اعداد تقریبی کاوندیش:

• M = 158 kg, L = 1.83 m, r = 0.23 m
• θ ≈ 3 × 10⁻³ rad (زاویه‌ی پیچش کوچیک — تقویت اپتیکی روی دیوار حدود 4 mm نشون می‌داد)
• T ≈ 7 دقیقه = 420 s (دوره‌ی نوسان طولانی چون سیم خیلی نرم)

\[ G \approx \frac{2 \pi^2 \cdot (3 \times 10^{-3}) \cdot (0.23)^2 \cdot 1.83}{158 \cdot (420)^2} \]

\[ G \approx \frac{2 \times 9.87 \times 3 \times 10^{-3} \times 0.053 \times 1.83}{158 \times 1.76 \times 10^5} \approx \frac{5.7 \times 10^{-3}}{2.78 \times 10^7} \approx 2 \times 10^{-10} \]

(مقدار واقعی کاوندیش بهتر از این تخمین سرانگشتی بود — این فقط برای نشون دادن مرتبه‌ی بزرگی ـه.) نتیجه‌ی نهایی کاوندیش:

\[ G_\text{Cavendish} \approx 6.74 \times 10^{-11}\ \mathrm{N \cdot m^2 / kg^2} \]

که با مقدار مدرن 6.674 × 10⁻¹¹ کمتر از ۱٪ فرق داره — رکورد فوق‌العاده‌ای برای ۱۷۹۸.

چرا اسم مقاله‌ی کاوندیش «چگالی زمین» بود؟

مقاله‌ی اصلی کاوندیش عنوان «Experiments to Determine the Density of the Earth» داشت — نه «تعیین G». چرا؟

چون در ذهن دوره‌ی خودش، معنی‌دارترین پیامد این آزمایش این بود: حالا می‌تونیم چگالی زمین رو حساب کنیم. یه بار G معلوم شد:

\[ M_E = \frac{g R_E^2}{G} \quad\Rightarrow\quad \rho_E = \frac{M_E}{(4/3)\pi R_E^3} = \frac{3g}{4\pi R_E G} \]

با g = 9.8، R_E = 6.37 × 10⁶ m، G = 6.7 × 10⁻¹¹:

\[ \rho_E \approx \frac{3 \cdot 9.8}{4\pi \cdot 6.37 \times 10^6 \cdot 6.7 \times 10^{-11}} \approx 5500\ \mathrm{kg/m^3} \]

یعنی حدود ۵.۵ برابر چگالی آب — یا حدود دو برابر چگالی سنگ روی سطح زمین. پس هسته‌ی زمین باید از موادی خیلی چگال‌تر (فلز، به‌احتمال آهن) ساخته شده باشه — یه نتیجه‌ی زمین‌شناسی بنیادین که از یه آزمایش فیزیک درآمد.

از دید امروزی، دستاورد اصلی G ـه — چون یک ثابت جهانی ـه؛ M_E فقط یه ضرب و تقسیم فاصله داره. ولی از دید کاوندیش که در دوره‌ای زندگی می‌کرد که «چگالی زمین» یه معما بود، اون معما رو حل کرده بود.

دقت مدرن — چرا G هنوز مسئله‌داره

از ۱۷۹۸ تا امروز، آزمایشگاه‌ها با فناوری روزافزون G رو دوباره اندازه گرفتن. عدد امروز:

\[ G = 6.67430(15) \times 10^{-11}\ \mathrm{N \cdot m^2 / kg^2} \]

که (15) یعنی عدم قطعیت روی رقم دو آخر. فقط ۳ رقم بامعنا — بدترین دقت بین ثابت‌های بنیادین:

• c = 299,792,458 m/s — دقیق
• h = 6.62607015 × 10⁻³⁴ J·s — دقیق
• k_B = 1.380649 × 10⁻²³ J/K — دقیق
• G = 6.6743 × 10⁻¹¹ ± 0.0001 — ۳ رقم!

چرا؟ همون مشکل کاوندیش:

1. گرانش ضعیف ـه. حتی با گلوله‌های چند تنی، نیرو در حد نانو-نیوتون می‌مونه.
2. گرانش قابل حفاظ نیست. برخلاف نیروی الکتریکی که با قفس فاراده می‌شه ازش محافظت کرد، گرانش از هر چیزی می‌گذره. یه اتوبوس در جاده‌ی نزدیک آزمایشگاه، سیگنال رو مختل می‌کنه.
3. حساسیت به همه‌چیز. دما، رطوبت، بار الکتریکی، ارتعاش، حتی جزر و مد.

آزمایشگاه‌های مختلف مقادیر متفاوت (تا ۰.۰۵٪ فرق) گزارش می‌کنن. هنوز نمی‌دونیم G رو با دقت بهتر از ~۳ ppm.

چه چیزی رو باید یاد گرفته باشی

بعد از این پیوست باید بتونی:

• ایده‌ی اصلی ترازوی پیچشی رو توضیح بدی: چرا زاویه‌ی پیچش (نه نیروی مستقیم) اندازه گرفته می‌شه
• از قانون هوک برای چرخش (τ = κθ) و آونگ پیچشی (T = 2π√(I/κ))، فرمول G رو استخراج کنی
• بگی چرا در فرمول نهایی G = 2π²θr²L/(MT²)، جرم گلوله‌ی کوچیک m نیست
• درک کنی چرا مقاله‌ی کاوندیش «چگالی زمین» نامیده شد
• توضیح بدی چرا G هنوز کم‌دقیق‌ترین ثابت بنیادین ـه

پیش‌نمایش پیوست ۳

حالا هم قانون داریم (نیوتون) و هم عدد G (کاوندیش). ثمره‌چینی: در پیوست ۳ می‌بینیم چطور با یک ضرب ساده، جرم زمین، g مربوطه به قانون جهانی، و تغییرش با ارتفاع رو حساب می‌کنیم. همینطور می‌بینیم چرا mgh (فرمول انرژی پتانسیل دبیرستان) فقط برای ارتفاع کم درسته و برای ماهواره‌ها به فرمول کامل U = -GMm/r نیاز داریم.

📚 مرجع اصلی: Henry Cavendish, Experiments to determine the Density of the Earth, Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 88, 469-526 (1798). 📖 مرجع آزاد: OpenStax University Physics Vol 1 — §13.1: Newton's Law of Universal Gravitation. 📖 مقاله‌ی مروری مدرن: G. Rosi et al., Precision measurement of the Newtonian gravitational constant using cold atoms, Nature 510, 518-521 (2014).

⇧ بازگشت به فهرست فصل