۱۶. گردونه مغناطیسی
شرح و تحلیل مسئله
صورت مسئله رسمی
«چند آهنربای نئودیمیم به یک دیسک افقی متصل میشوند، با آهنرباهای مجاور در جهتهای مخالف. یک صفحهی ثابت غیرمغناطیسی بهصورت افقی بالای دیسک قرار میگیرد. وقتی دیسک حول محور عمودیاش میچرخد و یک توپ فولادی روی صفحه قرار میگیرد، توپ ممکن است هم در جهت چرخش دیسک و هم در خلاف آن حرکت کند. این پدیده را بررسی کنید و تعیین کنید که حرکت چگونه به پارامترهای مرتبط وابسته است.»
میدان مغناطیسی دوار و پتانسیل دورهای
$n$ جفت آهنربا با جهتگیری متناوب روی دیسک، یک الگوی میدان مغناطیسی شطرنجی ایجاد میکنند که با دیسک میچرخد. در موقعیت زاویهای $phi$ از دیسک در قاب مرجع آزمایشگاه، انرژی پتانسیل مغناطیسی توپ فولادی:
$$U(phi_{rm ball} – phi_{rm disc}) = -U_0cos!left(n(phi_{rm ball} – phi_{rm disc})right)$$
که $U_0 > 0$ دامنهی پتانسیل و $n$ تعداد جفت آهنربا است. توپ فولادی (فرومغناطیس) به ماکسیممهای میدان جذب میشود.
گشتاور مغناطیسی روی توپ در زاویهی نسبی $Deltaphi = phi_{rm ball} – phi_{rm disc}$:
$$tau_{rm mag} = -frac{dU}{dphi_{rm ball}} = -n U_0sin(nDeltaphi)$$
معادلهی حرکت توپ: همسو یا مخالفسو
توپ روی صفحهی ثابت میغلتد. با جرم $m$ و شعاع $r_{rm ball}$، گشتاور اینرسی توپ (کرهی توپر) $I = frac{2}{5}mr_{rm ball}^2$. برای توپی در شعاع $R$ از مرکز دیسک، معادلهی حرکت زاویهای توپ حول مرکز دیسک:
$$(mR^2 + I)ddot{phi}_{rm ball} = tau_{rm mag}(Deltaphi) – tau_{rm friction}$$
که $tau_{rm friction} = mu_k, mg, R$ گشتاور اصطکاک غلتشی است.
رژیمهای حرکتی
رژیم کمسرعت (همسو): اگر $Omega_{rm disc}$ کوچک باشد، گشتاور مغناطیسی کافی است تا توپ را با دیسک همگام نگه دارد: $dot{phi}_{rm ball} approx dot{phi}_{rm disc} = Omega_{rm disc}$. توپ در جهت چرخش دیسک حرکت میکند.
رژیم پرسرعت (مخالفسو): اگر $Omega_{rm disc}$ از سرعت بحرانی $Omega_c$ بیشتر شود، توپ نمیتواند با دیسک همگام بماند. توپ در چرخهی متوسط عقب میماند. در قاب دیسک، میانگین گشتاور مغناطیسی صفر است اما غیرخطیبودن $sin(nDeltaphi)$ منجر به یک گشتاور خالص مخالف میشود که توپ را در خلاف جهت دیسک میراند.
سرعت بحرانی از تعادل بین گشتاور مغناطیسی ماکسیمم و اصطکاک غلتشی:
$$Omega_c approx frac{n U_0 – tau_{rm friction}}{I_{rm eff} / tau_{{rm lag}}}$$
بهصورت سادهتر، گذار همسو به مخالفسو وقتی اتفاق میافتد که زمان تاخر توپ از میدان چرخنده از نیمدورهی $pi/(nOmega_{rm disc})$ فراتر رود.
پارامترها
$n$ — تعداد جفت آهنربا: بر دورهی تناوب پتانسیل و $Omega_c$ اثر دارد
$U_0$ — دامنهی پتانسیل مغناطیسی (J): با شدت آهنربا و فاصلهی گاف هوایی بین دیسک و صفحه تعیین میشود
$g_{rm gap}$ — فاصلهی هوایی بین دیسک و صفحهی ثابت (mm): کاهش گاف $U_0$ را بالا میبرد
$R$ — فاصلهی توپ از مرکز دیسک (cm): موضع توپ روی صفحه
$m, r_{rm ball}$ — جرم و شعاع توپ: بر اینرسی و $tau_{rm friction}$ اثر میگذارند
$mu_k$ — ضریب اصطکاک غلتشی توپ-صفحه: بر سرعت بحرانی اثر دارد
راهاندازی آزمایش
برای اندازهگیری جهت و سرعت حرکت توپ بر حسب $Omega_{rm disc}$:
- دیسک را با موتور DC با سرعت قابل تنظیم بچرخانید. $n = 4$–$8$ جفت آهنربا را بهصورت متقارن نصب کنید.
- صفحهی پلکسیگلاس ثابت را با فاصلهی مشخص بالای دیسک قرار دهید.
- توپ فولادی را روی صفحه بگذارید و با دوربین سرعت و جهت حرکت آن را ثبت کنید.
- $Omega_{rm disc}$ را از صفر افزایش دهید و $Omega_c$ (گذار همسو به مخالفسو) را ثبت کنید.
- آزمایش را برای $n$ متفاوت و گاف هوایی متفاوت تکرار کنید.
- برای اندازهگیری $U_0$، از سنسور نیرو برای اندازهگیری گشتاور مغناطیسی استاتیکی استفاده کنید.
مراجع علمی
- Griffiths, D. J., Introduction to Electrodynamics, 4th ed., Pearson, 2013 — میدان مغناطیسی دیپل و انرژی پتانسیل.
- Jiles, D., Introduction to Magnetism and Magnetic Materials, 3rd ed., CRC Press, 2015 — فرومغناطیس و نیروی جذب.
- Chikazumi, S., Physics of Ferromagnetism, 2nd ed., Oxford, 1997.
- Sandri, G. et al., “Synchronization and desynchronization of rotating magnetic fields,” Am. J. Phys. 78 (2010) 301–307.
منابع پیشنهادی
سوالات و بحث
برای مشاهده و ارسال سوال باید عضو IYPT و وارد حساب کاربری باشید.
← ورود به حساب