مسئله 16 IYPT 2027: ۱۶. گردونه مغناطیسی

شرح و تحلیل مسئله

صورت مسئله رسمی

مجموعه‌ای از آهنربا و هادی چرخان بسازید که به‌عنوان موتور یا ژنراتور عمل کند. عوامل مؤثر بر گشتاور و توان خروجی را بررسی کنید.

مفاهیم فیزیکی کلیدی

جریان‌های گرداب‌ای (Eddy Currents)

وقتی یک هادی در میدان مغناطیسی غیریکنواخت حرکت می‌کند، EMF القا می‌شود و جریان‌های گرداب‌ای ایجاد می‌شوند. این جریان‌ها به نوبه خود با میدان اولیه برهم‌کنش می‌کنند:

ε = −dΦ/dt = −B · l · v

نیروی مخالف حرکت (قانون لنز): F = BIl = B²l²v/R

چرخش ناشی از میدان دوار

اگر چند آهنربا به‌صورت چرخشی آرایش داده شوند (مانند موتور القایی)، میدان مغناطیسی دوار ایجاد می‌شود. این میدان دوار در هادی مجاور جریان القا می‌کند که خودش نیروی دورانی ایجاد می‌کند — اساس موتور القایی AC.

قانون فارادی و بهره‌وری

توان مغناطیسی منتقل‌شده: P = τ · ω. بهره‌وری ژنراتور: η = P_out/P_mech، که با مقاومت هادی و بزرگی میدان تعیین می‌شود.

پارامترهای قابل بررسی

تعداد و آرایش آهنرباها — قطبیت متناوب در برابر یکسو
سرعت چرخش — گشتاور عموماً با سرعت افزایش می‌یابد
ضخامت و جنس هادی — آلومینیوم در برابر مس، ضخیم در برابر نازک
شکاف هوایی — فاصله بین آهنربا و هادی
دما — مقاومت هادی با دما تغییر می‌کند

روش آزمایش پیشنهادی

یک دیسک آلومینیومی را آزادانه معلق کنید
آهنرباهای قوی را روی یک چرخ دوار در کنارش قرار دهید
سرعت چرخش آهنرباها و دیسک را همزمان اندازه بگیرید
نسبت سرعت (slip ratio) را محاسبه کنید
با تغییر جنس و ضخامت دیسک، گشتاور انتقالی را مقایسه کنید

شبیه‌سازی تعاملی (Python)

این شبیه‌سازی مستقیماً در مرورگر شما اجرا می‌شود — بدون نیاز به نصب Python. بارگذاری اولیه ممکن است چند ثانیه طول بکشد.

شار مغناطیسی B (T) 0.3 T

رسانایی σ (MS/m) 35 MS/m

شعاع دیسک R (mm) 80 mm

ضخامت دیسک h (mm) 5 mm

برای شروع، دکمه زیر را بفشارید.

آزمایشگاه کد Python

این کد آماده را می‌توانید ویرایش کنید، داده‌های آزمایشی خودتان را وارد کنید و مستقیماً در مرورگر اجرا کنید — بدون نیاز به نصب Python.

Python — قابل ویرایش

# آزمایش «چرخ‌فلک مغناطیسی» — گشتاور ترمزی برحسب سرعت زاویه‌ای
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# --- بخش ۱: داده‌های شما ---
# سرعت زاویه‌ای دیسک آلومینیمی (rad/s)
omega = np.array([5, 10, 20, 40, 60, 80, 100, 140])
# گشتاور ترمزی اندازه‌گیری‌شده (mNm) از نیروسنج
tau_mNm = np.array([2.5, 5.1, 10.3, 20.7, 30.9, 41.5, 51.8, 72.6])

# --- بخش ۲: نظریه: τ = K ω  (خطی)  →  فیت خطی ---
coef = np.polyfit(omega, tau_mNm, 1)
K_fit, offset = coef
tau_th = K_fit*omega + offset

# --- بخش ۳: نمودار ---
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 4.6))
ax.plot(omega, tau_mNm, 'ro', ms=9, label='measured')
w = np.linspace(0, 150, 100)
ax.plot(w, K_fit*w + offset, 'b-', lw=2,
        label=f'τ = ({K_fit:.4f})·ω + {offset:.2f}')
ax.set_xlabel('ω (rad/s)'); ax.set_ylabel('τ (mNm)')
ax.set_title('Eddy-current brake — torque vs ω')
ax.legend(); ax.grid(True, alpha=0.3)
plt.tight_layout()

# --- بخش ۴: نتایج ---
print(f"Fitted drag coefficient K = {K_fit*1e-3:.5f} N·m·s/rad")
# check τ/ω is constant
ratio = tau_mNm/omega
print(f"τ/ω values (should be constant): mean={ratio.mean():.4f}, std={ratio.std():.4f}")
# Predicted vs measured
print("n ω(rad/s)  τ_meas  τ_fit  residual")
for w, tm, tt in zip(omega, tau_mNm, tau_th):
    print(f"   {w:5.1f}   {tm:5.2f}   {tt:5.2f}   {tm-tt:+.2f}")
print(f"nR² = {1 - np.var(tau_mNm-tau_th)/np.var(tau_mNm):.4f}")

آماده برای اجرا

خروجی