۶. دیدن صدا

صورت مسئله رسمی

«یک غشای لاستیکی نازک روی یک قاب دایره‌ای کشیده می‌شود و توسط یک بلندگو به ارتعاش درمی‌آید. یک آینه‌ی کوچک به غشا متصل است و یک پرتو لیزر از آن بازتاب می‌یابد و روی یک صفحه‌ی دور می‌افتد. در شرایط خاص، نقطه‌ی لیزر الگوهای هندسی پیچیده، پایدار یا در حال تکامل رسم می‌کند. رابطه‌ی بین پارامترهای محرک، خواص غشا، و الگوهای نور ایجادشده را بررسی کنید.»

مدهای ارتعاشی غشای دایره‌ای

معادله‌ی موج برای غشای دایره‌ای با شرط مرزی جابه‌جایی صفر در لبه ($r = R$) منجر به جواب‌های بسل می‌شود. تابع شکل مد $(m,n)$ عبارت است از:

$$psi_{mn}(r,theta,t) = A_{mn}, J_m!left(frac{k_{mn}, r}{R}right)cos(mtheta),cos(2pi f_{mn}, t)$$

که در آن $J_m$ تابع بسل نوع اول مرتبه $m$، و $k_{mn}$ $n$-امین ریشه‌ی غیرصفر $J_m(k_{mn}) = 0$ است. فرکانس رزونانس هر مد:

$$f_{mn} = frac{k_{mn}}{2pi R},c,,qquad c = sqrt{frac{T}{sigma}}$$

که $T$ کشش سطحی (نیرو بر واحد طول، N/m)، $sigma$ چگالی سطحی (kg/m²)، و $R$ شعاع قاب است.

جدول اولین ریشه‌های بسل $k_{mn}$

تبدیل ارتعاش به حرکت نقطه‌ی لیزر

آینه‌ای که در نقطه‌ی $(r_0, theta_0)$ روی غشا نصب شده، زاویه‌ی بازتاب را با کج شدن سطح غشا تغییر می‌دهد. اگر جابه‌جایی عمودی غشا در آن نقطه $z(t)$ باشد و بازوی مکانیکی آینه $ell$ باشد، تغییر زاویه‌ی لیزر:

$$Deltatheta_x(t) approx frac{2}{ell},frac{partial z}{partial x}bigg|_{(r_0,theta_0)},qquad Deltatheta_y(t) approx frac{2}{ell},frac{partial z}{partial y}bigg|_{(r_0,theta_0)}$$

فاصله‌ی صفحه‌ی تصویر $D$ نقطه‌ی لیزر را در مختصات $(X,Y) = (DDeltatheta_x,, DDeltatheta_y)$ نشان می‌دهد.

الگوهای Lissajous

هنگامی که یک مد تحریک می‌شود، هر دو مولفه $Deltatheta_x$ و $Deltatheta_y$ با همان فرکانس نوسان می‌کنند، اما ممکن است اختلاف فاز $delta$ داشته باشند:

$$X(t) = Acos(omega t),qquad Y(t) = Bcos(omega t + delta)$$

برای $delta = 0$ یا $pi$ خط مستقیم، برای $delta = pi/2$ بیضی، و برای $delta$ متغیر الگوی چرخنده به‌دست می‌آید.

هنگامی که دو مد $(m_1,n_1)$ و $(m_2,n_2)$ هم‌زمان تحریک می‌شوند با نسبت فرکانسی $p:q$:

$$X(t) = A_1cos(pomega t + phi_1),qquad Y(t) = A_2cos(qomega t + phi_2)$$

نقطه‌ی لیزر شکل Lissajous با نسبت $p:q$ می‌کشد. نزدیک رزونانس، دامنه‌ی بزرگ منجر به الگوهای پیچیده و در حال تکامل می‌شود زیرا اختلاف فاز $phi_1 – phi_2$ به‌کندی تغییر می‌کند.

پارامترها

راه‌اندازی آزمایش

برای اندازه‌گیری فرکانس‌های رزونانس بر حسب $R$ و $T$:

1. غشای لاستیکی را با کشش ثابت (با وزنه‌های مشخص) روی قاب‌های دایره‌ای با شعاع‌های مختلف ببندید.
2. فرکانس بلندگو را به‌آرامی از چند Hz تا چند صد Hz تغییر دهید و فرکانس‌هایی که الگوهای پایدار ایجاد می‌کنند را ثبت کنید.
3. نسبت $f_{mn}/f_{11}$ را با نسبت $k_{mn}/k_{11}$ مقایسه کنید تا صحت مدل بسل تایید شود.
4. با تنظیم هم‌زمان دو فرکانس نزدیک دو مد متفاوت ($k_{mn}$ متفاوت)، الگوهای پیچیده دو‌مدی را تولید و عکس بگیرید؛ نسبت $k_{m_1n_1}/k_{m_2n_2}$ را با الگوی مشاهده‌شده مقایسه کنید.

اندازه‌گیری سرعت صوت در غشا از رابطه‌ی $c = 2pi f_{01} R / k_{01}$، و سپس $T = c^2 sigma$.

انیمیشن — ارتعاش غشا و مسیر نقطه‌ی لیزر

تحلیل با Python

شبیه‌سازی زیر دو خروجی اصلی را نمایش می‌دهد:
نمودار چپ: شکل مد $(m,n)$ روی غشا — نواحی سبز بالا، نواحی بنفش پایین، خطوط نقطه‌چین گره‌های مد.
نمودار راست: مسیر نقطه‌ی لیزر روی صفحه — یک مد (بیضی/خط) یا دو مد (لیساژو).

شبیه‌سازی Python — مدهای بسل و مسیر لیزر

کد زیر برای چهار مد اصلی غشا محاسبه می‌کند: (ردیف بالا) شکل مد روی غشا با نواحی رنگی و خطوط گره — (ردیف پایین) مسیر نقطه‌ی لیزر روی صفحه در همان مد.

مراجع علمی

• Lissajous, J. A. (1857). «Mémoire sur l'étude optique des mouvements vibratoires.» Annales de Chimie et de Physique, 51, 147–231. — مقاله‌ی اصلی Jules Lissajous که روش بصری ثبت حرکت ارتعاشی با بازتاب نور را معرفی کرد؛ پایه‌ی فیزیکی همین آزمایش.
• Kinsler, L. E. et al., Fundamentals of Acoustics, 4th ed., Wiley, 2000 — فصل ارتعاش غشاها.
• Morse, P. M., Vibration and Sound, McGraw-Hill, 1948 — حل کامل معادله‌ی موج دایره‌ای.
• French, A. P., Vibrations and Waves, MIT Introductory Physics Series, 1971.
• Rossing, T. D., Springer Handbook of Acoustics, Springer, 2007 — فصل غشاهای ضربه‌ای.

واژه‌نامه‌ی تخصصی