۷. قیف غرقشونده
شرح و تحلیل مسئله
صورت مسئله رسمی
وقتی یک قیف با دستهی بلند و بهاندازهی کافی سنگین بهصورت عمودی با دسته رو به پایین در آب رها میشود، یک سری نوسانات عمودی میراشونده انجام میدهد و بهتدریج فرو میرود. حرکت و پایداری قیف در حال فرورفتن و شرایطی که قیف واژگون میشود را بررسی کنید.
۷. قیف غرقشونده
یک قیف پلاستیکی را با دهانهی پایین روی سطح آب قرار دهید — هوا در درون آن محبوس میشود. با کاهش تدریجی حجم هوای محبوس (قانون بویل)، قیف به تدریج فرو میرود. چه عاملی سرعت و نوع فرورفتن را کنترل میکند؟
هندسهی قیف
$$H = frac{R}{tantheta}$$
• H = ارتفاع مخروط قیف (m)
• R = شعاع قاعدهی مخروط (m)
• θ = نیمزاویهی مخروط (rad) — زاویه بین محور و دیوارهی قیف
$$V_{text{cone}} = frac{pi R^2 H}{3}$$
• Vcone = حجم مخروط قیف (m³)
• R = شعاع قاعده (m)
• H = ارتفاع مخروط (m)
$$V_{text{stem}} = pi r_s^2 L_s$$
• Vstem = حجم لولهی قیف (m³)
• rs = شعاع داخلی لوله (m)
• Ls = طول لوله (m)
حجم اولیهی هوای محبوس: (V_0 approx V_{text{cone}} + V_{text{stem}})
فیزیک: قانون بویل
اگر (z) عمق مرکز هوا از سطح آب باشد، قانون بویل (دمای ثابت) میدهد:
$$V_{text{air}}(z) = frac{P_0 cdot V_0}{P_0 + rho_w g z}$$
• Vair(z) = حجم هوای محبوس در عمق z (m³)
• P0 = فشار اتمسفر = ۱۰۱۳۲۵ Pa ≈ 10⁵ Pa
• V0 = حجم اولیهی هوا در سطح آب (m³)
• ρw = چگالی آب = ۱۰۰۰ kg/m³
• g = شتاب گرانش = ۹.۸ m/s²
• z = عمق مرکز جیب هوا از سطح آب (m)، مثبت به سمت پایین
معادلهی حرکت قیف
معادلهی حرکت قیف (z مثبت به سمت پایین):
$$mddot{z} = bigl(m – rho_wbigl[V_f + V_{text{air}}(z)bigr]bigr)g – tfrac{1}{2}C_D,rho_w,A,dot{z}|dot{z}|$$
• m = جرم قیف (kg) — برابر ρfunnel × Vfunnel؛ به جنس پلاستیک قیف بستگی دارد
• z̈ = d²z/dt² = شتاب قیف (m/s²)
• ρw = چگالی آب = ۱۰۰۰ kg/m³
• Vf = حجم فیزیکی جسم قیف (بدون هوا) (m³)
• Vair(z) = حجم هوای محبوس در عمق z (m³)
• g = شتاب گرانش = ۹.۸ m/s²
• CD = ضریب پسا (بیبعد) — برای قیف معمولاً ۰.۵–۱.۰
• A = سطح مقطع مؤثر قیف (m²)
• ż = dz/dt = سرعت نزولی قیف (m/s)
دو رژیم رفتاری
- قیف شناور (هوای کافی): اگر (m < rho_w(V_f + V_0))، قیف در ابتدا شناور است. با افزایش عمق، (V_{text{air}}) کاهش مییابد تا نیروی خالص به سمت پایین شود.
- قیف فوریغرقشو: اگر (m > rho_w(V_f + V_0))، قیف بلافاصله با شتاب فرو میرود.
تحلیل دوفازی: از ورود ساقه تا غرق شدن مخروط
فرورفتن قیف در دو فاز مجزا پیش میرود که باید آنها را از هم تفکیک کرد:
• ساقهی باریک وارد آب شده
• دهانهی مخروط هنوز بالای سطح آب است
• هوا از دهانهی باز میتواند آزادانه فرار کند — H-P هنوز محدودکننده نیست
• قیف در این فاز با حداقل مقاومت فرو میرود و یک سرعت اولیه کسب میکند
• این فاز تا لحظهای ادامه دارد که لبهی دهانه زیر سطح آب برود
مکانیزم رچت — چرا نوسانات به فرورفتن تدریجی منجر میشوند
صورت مسئله میگوید قیف «نوسانات عمودی میراشونده» انجام میدهد و بهتدریج فرو میرود. این دو پدیده از طریق یک مکانیزم رچت (چرخهی یکطرفه) به هم متصلاند:
- حرکت رو به پایین (فشردگی): عمق $z$ افزایش → $Delta P = rho_w g z$ بزرگتر → $Q = frac{pi r_s^4 Delta P}{8mu L_s}$ بزرگتر → هوای بیشتری در واحد زمان از ساقه خارج میشود.
- حرکت رو به بالا (انبساط): عمق $z$ کاهش → $Delta P$ کوچکتر → $Q$ کوچکتر → کمتر از قبل فرار میکند. اما هوایی که در فاز پایینرفتن خارج شد برنمیگردد — ستون آب اجازهی بازگشت هوا را نمیدهد.
- تراز هر چرخه: هوای خارجشده (پایینرفتن) > هوای ورودی (بالارفتن) = صفر. بنابراین هر نوسان → کاهش خالص $V_text{ref}$ (حجم هوا در فشار اتمسفر).
$$Delta V_text{ref,cycle} = -int_0^T Q(z(t)),dt < 0 quadtext{(یکطرفه)}$$
نتیجهی زنجیرهای:
→ کاهش $V_text{air}(z)$ در هر عمق
→ کاهش نیروی شناوری $rho_w g V_text{air}$
→ نقطهی تعادل جدید در عمق بیشتر $z_text{eq}’ > z_text{eq}$
→ قیف کمی پایینتر میماند پس از هر نوسان
→ فرورفتن تدریجی
بازخورد مثبت Boyle در هر ضربهی پایینرونده
علاوه بر رچت بلندمدت، در هر حرکت رو به پایین یک بازخورد مثبت آنی وجود دارد:
→ آب فشار بیشتری به هوا وارد میکند
→ هوا فشرده میشود (قانون بویل) → حجم کمتر
→ شناوری کمتر
→ برآیند نیرو بیشتر رو به پایین
→ قیف سریعتر پایین میرود
→ بازخورد مثبت (حلقهی ناپایدار در جهت پایین)
این بازخورد مثبت یعنی نقطهی تعادل ناپایدار است: قیف تا زمانی نوسان میکند که شناوری اولیهاش ($m < rho_w(V_f + V_0)$) اجازه دهد. با تخلیهی تدریجی هوا (رچت) این شناوری از بین میرود و قیف به فرورفتن یکنواخت ختم میشود.
دامنهی نوسانات هم کاهش مییابد زیرا با کم شدن هوا، نیروی بازگردانندهی شناوری ضعیفتر میشود — این «میراشدن» نوسانات است.
فرار هوا از لوله — جریان هاگن-پوازوی
اگر هوا از طریق لولهی قیف فرار کند:
$$frac{dV_{text{air}}}{dt} = -frac{pi r_s^4}{8mu L_s},Delta P(z)$$
• dVair/dt = نرخ تغییر حجم هوا (m³/s) — منفی چون هوا کم میشود
• rs = شعاع داخلی لوله (m) — مهمترین پارامتر: دبی ∝ rs⁴
• μ = ویسکوزیتهی دینامیکی هوا ≈ ۱.۸×۱۰⁻⁵ Pa·s
• Ls = طول لوله (m)
• ΔP(z) = ρwgz = اضافهفشار آب نسبت به هوای محبوس (Pa)
لولهی باریکتر (rs کوچکتر) → فرار آهستهتر هوا → نزول آهستهتر قیف. نرخ فرار هوا با rs⁴ تغییر میکند — تغییر جزئی در rs اثر بسیار زیادی دارد.
سرعت نهایی
در عمقهای زیاد، (V_{text{air}} to 0) و قیف مثل یک جسم جامد غرقشده رفتار میکند:
$$v_T = sqrt{frac{2,(m – rho_w V_f),g}{C_D,rho_w,A}}$$
• vT = سرعت نهایی (ترمینال) قیف غرقشده (m/s)
• m = جرم قیف (kg)
• ρw = چگالی آب = ۱۰۰۰ kg/m³
• Vf = حجم فیزیکی جسم قیف (m³)
• g = شتاب گرانش = ۹.۸ m/s²
• CD = ضریب پسا (بیبعد)
• A = سطح مقطع مؤثر (m²)
روش آزمایش پیشنهادی
- قیفهای پلاستیکی با rs های مختلف تهیه کنید (با پر کردن لوله با پارافین میتوان شعاع را کاهش داد)
- در آکواریوم شفاف قرار دهید و با دوربین از کنار فیلم بگیرید
- زمان غرق شدن را برای هر rs اندازه بگیرید
- نمودار (t_{text{sink}}) بر حسب (1/r_s^4) رسم کنید — باید خطی باشد
مقالات مرتبط
تصاویر مرتبط
سوالات و بحث
برای مشاهده و ارسال سوال باید عضو IYPT و وارد حساب کاربری باشید.
← ورود به حساب