§ ۱۳.۳ — سرعت فرار و سرعت مداری
سرعت فرار: شکستن دستبند گرانش
سرعت فرار حداقل سرعتی است که جسمی باید در یک محل خاص داشته باشد تا بدون تکانهی بیشتر به بینهایت فرار کند. این مفهومی بنیادی در مکانیک آسمانی است، قابل اعمال برای سیارهها، ماهها، سیاهچالهها و هر جسم جاذب.
برای استخراج سرعت فرار، از پایستگی انرژی استفاده میکنیم. جسمی در سطح (یا هر شعاع \( r \)) با سرعت \( v_{\text{esc}} \) دارای انرژی کل:
\[ E = \frac{1}{2}mv_{\text{esc}}^2 - G\frac{Mm}{r} \]
برای فرار به بینهایت، جسم باید بهسختی فاصلهی بینهایت را با سرعت صفر برسد. در بینهایت، هم انرژی جنبشی و هم انرژی پتانسیل ناپدید میشوند، پس:
\[ E_{\text{final}} = 0 \]
با پایستگی انرژی:
\[ \frac{1}{2}mv_{\text{esc}}^2 - G\frac{Mm}{r} = 0 \]
\[ v_{\text{esc}} = \sqrt{\frac{2GM}{r}} \]
برای سطح زمین (\( M = 5.972 \times 10^{24} \, \text{kg} \)، \( r = 6.371 \times 10^6 \, \text{m} \)):
\[ v_{\text{esc}} = \sqrt{\frac{2(6.674 \times 10^{-11})(5.972 \times 10^{24})}{6.371 \times 10^6}} \approx 11.2 \, \text{km/s} \]
توجه کنید که سرعت فرار مستقل از جرم جسم فرارکننده است—تنها بستگی به جرم جاذب و فاصله دارد. یک پر و یک سنگ برای فرار از زمین به همان سرعت نیاز دارند.
سرعت مداری: حرکت دایرهای ثابت
جسمی در مدار دایرهای در مسیری حرکت میکند که نیروی جاذبه شتاب مرکزگرای لازم برای حفظ حرکت دایرهای را فراهم میکند:
\[ G\frac{Mm}{r^2} = m\frac{v_{\text{orbit}}^2}{r} \]
حل برای سرعت مداری:
\[ v_{\text{orbit}} = \sqrt{\frac{GM}{r}} \]
رابطهی بین سرعتهای فرار و مداری الگان است:
\[ v_{\text{esc}} = \sqrt{2} \cdot v_{\text{orbit}} \]
این بدان معنی است که سرعت فرار همیشه \( \sqrt{2} \approx 1.414 \) برابر سرعت مداری در همان شعاع است. برای مدار دایرهای درست بالای سطح زمین:
\[ v_{\text{orbit}} = \sqrt{\frac{GM_E}{R_E}} \approx 7.9 \, \text{km/s} \]
دورهی مداری و قانون سوم کپلر
برای مدار دایرهای، دورهی مداری \( T \) با شعاع از طریق بررسیهای انرژی و قوانین نیوتن مرتبط است. ترکیب نیاز نیروی مرکزگرا با نیروی جاذبه:
\[ \frac{v_{\text{orbit}}}{r} = \frac{2\pi}{T} \]
\[ \sqrt{\frac{GM}{r}} = \frac{2\pi r}{T} \]
مربع کردن و بازآرایی:
\[ T^2 = \frac{4\pi^2 r^3}{GM} \]
این قانون سوم کپلر است، که ما آن را با جزئیات بیشتر در بخش بعدی بررسی خواهیم کرد. این نشان میدهد که دورهی مداری با توان 3/2 شعاع مداری افزایش مییابد.
مسئلهی موازی: موشک چندمرحلهای برای فرار
موشکی سهمرحلهای در سطح زمین ابتدایی سوخت را با سرعت خروج کل \( v_e = 4.5 \, \text{km/s} \) (نسبت به موشک) حمل میکند. جرم خشک موشک (ساختار + بار پولادی) \( M_{\text{dry}} = 5000 \, \text{kg} \) و جرم سوخت اولیه \( M_{\text{fuel}} = 95,000 \, \text{kg} \) است. موشک در سه مرحله عمل میکند، هرکدام 1/3 از جرم سوخت اولیه را دفع میکند.
سرعت نهایی بار پولادی پس از شلیک تمام سه مرحله را تعیین کنید و تأیید کنید که آیا سرعت فرار را حاصل میکند.
حل:
با استفاده از معادلهی موشک تسیولکوفسکی برای هرمرحله:
\[ \Delta v = v_e \ln\left(\frac{M_{\text{initial}}}{M_{\text{final}}}\right) \]
مرحلهی اول: جرم کل اولیه = 100,000 kg، جرم نهایی = 5000 + 66,667 = 71,667 kg
\[ \Delta v_1 = 4500 \ln\left(\frac{100,000}{71,667}\right) = 4500 \ln(1.395) = 4500(0.333) = 1499 \, \text{m/s} \]
مرحلهی دوم: جرم اولیه = 71,667 kg، جرم نهایی = 5000 + 33,333 = 38,333 kg
\[ \Delta v_2 = 4500 \ln\left(\frac{71,667}{38,333}\right) = 4500 \ln(1.869) = 4500(0.626) = 2817 \, \text{m/s} \]
مرحلهی سوم: جرم اولیه = 38,333 kg، جرم نهایی = 5000 kg
\[ \Delta v_3 = 4500 \ln\left(\frac{38,333}{5000}\right) = 4500 \ln(7.667) = 4500(2.037) = 9167 \, \text{m/s} \]
کسب سرعت کل:
\[ v_{\text{total}} = \Delta v_1 + \Delta v_2 + \Delta v_3 = 1499 + 2817 + 9167 = 13,483 \, \text{m/s} \]
از آنجایی که سرعت فرار از سطح زمین \( v_{\text{esc}} = 11,200 \, \text{m/s} \) و موشک \( 13,483 \, \text{m/s} \) را حاصل میکند، بار پولادی با موفقیت از گرانش زمین فرار میکند. انرژی جنبشی اضافی با سرعت نهایی در بینهایت مطابقت دارد:
\[ \frac{1}{2}v_{\infty}^2 = \frac{1}{2}v_{\text{total}}^2 - G\frac{M_E}{R_E} \]
\[ v_{\infty} = \sqrt{(13,483)^2 - 2(6.674 \times 10^{-11})(5.972 \times 10^{24})/(6.371 \times 10^6)} \]
\[ v_{\infty} = \sqrt{181.8 \times 10^6 - 125.4 \times 10^6} = \sqrt{56.4 \times 10^6} \approx 7.5 \, \text{km/s} \]
کاربردهای دنیای واقعی
سرعت فرار امکانپذیری پرتاب فضایی از هر جسم سیارهای را تعیین میکند. این همان دلیلی است که موشکها برای فرار از زمین به انرژی عظیمی نیاز دارند، اما چرا شخصی جستن میتواند از سیارک کوچکی فرار کند. سیاهچالهها سرعتهای فراری دارند که سرعت نور را از سر میزنند، که آنها را به زندانهای واقعی فضازمان تبدیل میکند. شبکههای ماهوارهای ارتباطی بر درک سرعتهای مداری تکیه میکنند—ماهوارههای ثابتزمین در شعاع خاصی مدار میکنند که دورهی آنها با دورهی چرخش زمین (۲۴ ساعت) مطابقت دارد.
سوالی دارید؟ 🤔
اگه مفهومی نامشخص بود یا سوالی داشتید، اینجا بپرسید. جوابتون در اینجا منتشر میشه.