معادلهی برنولی پایستگی انرژی برای مایع جریاندار رو بیان میکنه. فشار، سرعت و انرژی پتانسیل گرانشی رو در نقاط متفاوتی روی یک خطجریان (streamline) ربط میده، نشان میده چرا سرعت جریان بیشتر با فشار پایینتر جور میخوره.
اشتقاق معادلهی برنولی
عنصری از مایع که روی خطجریانی حرکت میکنه رو فرض کن (راهی که سرعت محلی رو در هر نقطه دنبال کنه). بین دو نقطه روی خطجریان، گرانش و فشار روی عنصر کار میکنن. براساس قضیهی کار-انرژی، تغییر انرژی جنبشی برابر کار انجامشده:
\[ \Delta KE = W_{\text{گرانش}} + W_{\text{فشار}} \]
\[ \frac{1}{2} m v_2^2 - \frac{1}{2} m v_1^2 = -mg(h_2 - h_1) + P_1 A \, s_1 - P_2 A \, s_2 \]
جایی که \( s_1 \) و \( s_2 \) فواصل طیشده. تقسیم بر جرم و تنظیم مجدد (با استفاده از \( \rho = m/V = m/(A \cdot s) \)):
\[ P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho g h_1 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho g h_2 \]
این معادلهی برنولی ـه:
\[ P + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho g h = \text{ثابت} \]
هر جمله ابعاد فشار داره (یا انرژی بر واحد حجم):
- \( P \) — انرژی فشار بر واحد حجم
- \( \frac{1}{2} \rho v^2 \) — انرژی جنبشی بر واحد حجم
- \( \rho g h \) — انرژی پتانسیل گرانشی بر واحد حجم
مجموع این سه جمله روی خطجریان ثابت (برای مایع تراکمناپذیر، بدون اصطکاک در جریان پایدار).
تفسیر معادلهی برنولی
سرعت بالا → فشار پایین: جایی که مایع سریعتر میشه (مثل لوله تنگ، براساس تداوم)، جملهی انرژی جنبشی افزایش مییابه. برای نگهداشتن مجموع، فشار کاهش مییابه. این اثر برنولی ـه، بنیاد فیزیکی برای بالابر روی بالهای هواپیما و اصل کوپ مکش.
ارتفاع بالا → فشار پایین: وقتی مایع بر علیه گرانش بالا میرود، \( \rho g h \) افزایش مییابه. دوباره، فشار کاهش مییابه تا جبران کنه.
فشار کار میکنه: وقتی فشار کاهش مییابه، جملهی فشار کار مثبت روی عناصر مایع میکنه و آنها رو شتاب میده.
مثال محاسبهای: آب جاری از مخزن
مخزنی بزرگ آب با یه سوراخ کوچک ۵ متر زیر سطح. آب از طریق سوراخ جریان داره. نادیدهگیری مقاومت هوا و فرض کن مخزن باز به اتمسفر، سرعت آب خروجی از سوراخ چقدره؟
دادهها:
- عمق سوراخ: \( h_1 - h_2 = 5 \) m
- فشار اتمسفری در سطح: \( P_{\text{atm}} = 101,325 \) Pa
- چگالی آب: \( \rho = 1000 \) kg/m³
- \( g = 9.8 \) m/s²
- دهانهی مخزن و سوراخ هر دو در فشار اتمسفری (باز به هوا)
راهحل: نقطه ۱ در سطح؛ نقطه ۲ در خروجی سوراخ.
- ارتفاع ۱: \( h_1 = 5 \) m، سرعت \( v_1 \approx 0 \) (مخزن بزرگ، سطح آرام میافتاد)
- ارتفاع ۲: \( h_2 = 0 \) m، سرعت \( v_2 = ? \)
- هر دو در فشار اتمسفری: \( P_1 = P_2 = P_{\text{atm}} \)
کاربرد برنولی: \[ P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho g h_1 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho g h_2 \]
از آنجایی که \( P_1 = P_2 \) و \( v_1 \approx 0 \): \[ \rho g h_1 = \frac{1}{2} \rho v_2^2 \]
\[ v_2 = \sqrt{2 g h_1} = \sqrt{2 \times 9.8 \times 5} = \sqrt{98} \approx 9.9 \text{ m/s} \]
این نتیجه از سطح مقطع مخزن یا اندازهی سوراخ مستقل! فقط به تفاوت عمق بستگی داره، مثل توپی که از ارتفاع \( h \) میافتاد. این قانون تورچلی ـه: سرعت خروج مایع از سوراخ برابر سرعتی ـه که ذرهای اگه از همون ارتفاع افتاد داشت.
کاربردهای عملی
بالهای هواپیما: شکل بال هوا رو مجبور میکنه روی سطح بالایی سریعتر از سطح پایینی حرکت کنه. براساس برنولی، فشار بالاتر پایینتر، بالابر ایجاد میکنه.
سنج ونتوری: تنگی در لوله فشار رو کاهش میده (براساس تداوم و برنولی). اندازهگیری کاهش فشار نرخ جریان رو نشان میده.
اتمایزر/بطری رش: دمیدن هوا روی بالای لوله (سرعت بالا ایجاد) فشار آنجا رو پایین میبرده، مایع رو از پایین بکش میکنه.
توپ منحنی در ورزش: بیسبال چرخان جریان نامتقارن حس میکنه. جریان سریعتر روی یک طرف (فشار پایینتر) نسبت به طرف دیگر (فشار بالاتر) نیروی جانبی ایجاد میکنه—اثر ماگنوس.
حالت خاص: سیالات ساکن
وقتی \( v = 0 \) همهجا (بدون جریان)، برنولی به رابطهی فشار هیدروستاتیک کاهش مییابه:
\[ P_1 + \rho g h_1 = P_2 + \rho g h_2 \]
یا
\[ P = P_0 + \rho g h \]
این دقیقاً فرمول هیدروستاتیک از §۱۴.۲. برنولی پس تعمیمیافتهای ـه که هم سیالات ساکن هم پویا رو دربرمیگیره.
انتشار انرژی: مایعات واقعی
معادلهی \( P + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho g h = \text{ثابت} \) فرض میکنه مایع ایدهآل، بدون اصطکاک. در مایعات واقعی با ویسکوزیته، انرژی بهعنوان گرما بسبب اصطکاک داخلی متلاشی میشه. برنولی هنوز هم محلی بین دو نقطه نزدیک در زمان قابل اجرا، ولی روی فواصل یا زمانهای طولانیتر، "ثابت" کاهش مییابه—انرژیای بهعنوان گرما فرار میکنه. §۱۴.۶ ویسکوزیته رو کمی کندتر بررسی میکنه.
چه چیزی رو باید یاد گرفته باشی
- اشتقاق معادلهی برنولی از پایستگی انرژی
- شناخت سه جملهی انرژی: فشار، جنبشی و پتانسیل
- کاربرد برنولی برای یافتن سرعتها، فشارها یا ارتفاعها در سیستمهای جریان
- توضیح اثر برنولی و ربط آن به پدیدههای روزمره (بالابر، رش)
- محاسبهی سرعت خروج آب از مخزن (قانون تورچلی)
- شناخت اینکه فشار هیدروستاتیک حالت خاصی از برنولی ـه
پیشنمایش §۱۴.۶
ویسکوزیته: چگونه اصطکاک داخلی مایع در برابر جریان مقاومت میکنه و منجر به نیروی درگ (قانون استوکس) میشه.
📚 همچنین ببین: Halliday Vol 2, Ch 14, §14.5.
سوالی دارید؟ 🤔
اگه مفهومی نامشخص بود یا سوالی داشتید، اینجا بپرسید. جوابتون در اینجا منتشر میشه.