مسئله 2 IYPT 2027: ۲. طیف‌نگار دیسکی

شرح و تحلیل مسئله

صورت مسئله رسمی

یک طیف‌نگار ساده با استفاده از دیسک CD یا DVD بسازید. دقت و محدوده طول موجی آن را بررسی کنید و عوامل مؤثر بر کیفیت طیف را تعیین کنید.

مفاهیم فیزیکی کلیدی

CD به‌عنوان توری پراش

شیارهای یک CD با فاصله d ≈ ۱.۶ میکرومتر (و DVD با d ≈ ۰.۷۴ μm) یک توری پراش انعکاسی ایجاد می‌کنند. نور سفید برخوردی به رنگ‌های مختلف در زوایای گوناگون پراش می‌یابد.

معادله توری پراش:

d · (sin θᵢ + sin θₘ) = m · λ

که در آن θᵢ زاویه تابش، θₘ زاویه پراش مرتبه m، و λ طول موج نور است.

پاشندگی زاویه‌ای

پاشندگی زاویه‌ای نشان می‌دهد چقدر دو طول موج نزدیک از هم جدا می‌شوند:

dθ/dλ = m / (d · cos θₘ)

مرتبه بالاتر m یا فاصله شیار کمتر d، پاشندگی بیشتر و دقت بهتر برای جداسازی طول موج‌های نزدیک می‌دهد.

قدرت تفکیک

قدرت تفکیک طیف‌نگار: R = λ/Δλ = mN، که N تعداد کل شیارهای روشن‌شده است. برای یک CD با ۲۰ میلی‌متر پهنای پرتو روشنایی، N ≈ ۱۲۵۰۰ شیار فعال.

پارامترهای قابل بررسی

نوع دیسک — CD (d≈۱.۶μm) در برابر DVD (d≈۰.۷۴μm)
زاویه تابش نور — مرتبه پراش و رنگ‌های قابل دیدن تغییر می‌کنند
منبع نور — لیزر تک‌رنگ، لامپ فلورسنت، LED سفید، خورشید
شکاف ورودی — عرض شکاف بر وضوح و شدت طیف تأثیر دارد
مرتبه پراش — مرتبه اول در برابر مرتبه دوم

روش آزمایش پیشنهادی

CD را در زاویه ۴۵ درجه نسبت به نور محیط قرار دهید
طیف رنگی را با دوربین ثبت کنید
زاویه هر رنگ را اندازه بگیرید و با معادله توری طول موج محاسبه کنید
نتایج را با خطوط طیفی شناخته‌شده (مثل طیف لامپ سدیم: ۵۸۹ nm) کالیبره کنید
دقت را با تغییر مرتبه پراش و نوع دیسک مقایسه کنید

منابع و مطالعه بیشتر

کتاب‌های درسی

Hecht, E. (2017). Optics (5th ed.). Pearson. — فصل ۱۰: پراش و توری‌های پراش؛ مرجع اصلی برای معادله توری، قدرت تفکیک، و پاشندگی زاویه‌ای.
Born, M. & Wolf, E. (1999). Principles of Optics (7th ed.). Cambridge University Press. — بخش ۸.۶: توری‌های پراش؛ تحلیل دقیق ریاضی تابع شکاف و عملکرد توری.
Hecht, E. & Zajac, A. (2003). Optics. Addison-Wesley. — فصل مربوط به پراش فرانهوفر و توری؛ مناسب برای درک بصری پدیده.
Halliday, D., Resnick, R. & Walker, J. (2018). Fundamentals of Physics (11th ed.). Wiley. — فصل ۳۶: پراش؛ پوشش مقدماتی معادله توری و قدرت تفکیک.
Pedrotti, F.L., Pedrotti, L.M. & Pedrotti, L.S. (2017). Introduction to Optics (3rd ed.). Cambridge University Press. — فصل ۱۳: توری‌های پراش و کاربردهای طیف‌سنجی.

مقالات آموزشی

Wakabayashi, F., Hammaker, R. M. & Fateley, W. G. (1998). A new CD spectrometer for classroom demonstrations. Journal of Chemical Education, 75(1), 9–10. — ساخت طیف‌سنج دیسکی ساده و اندازه‌گیری طول موج لیزرها.
Arnone, C. (1993). An inexpensive, CD-based spectrometer. The Physics Teacher, 31(7), 432–433. — دستورالعمل عملی ساخت طیف‌سنج با CD و کالیبراسیون آن.
Flügge, J. (1996). How to build a simple spectrograph using a compact disc. European Journal of Physics, 17(5), 299–304. — تحلیل عملکرد CD به عنوان توری انعکاسی با اندازه‌گیری کمّی.
Greenslade, T. B. (2001). Diffraction grating from a compact disc. The Physics Teacher, 39(8), 471. — نکات عملی برای بهبود دقت اندازه‌گیری زاویه پراش.

منابع آنلاین

Nave, C. R. HyperPhysics — Diffraction Grating. Georgia State University. — توضیح بصری معادله توری و قدرت تفکیک با نمودارهای تعاملی.
NIST Atomic Spectra Database. National Institute of Standards and Technology. — پایگاه داده طیف اتمی عناصر برای کالیبراسیون طیف‌سنج.
Public Lab — DIY Spectrometry Kit (publiclab.org/wiki/spectrometry). — پروژه متن‌باز ساخت طیف‌سنج کم‌هزینه با CD و وب‌کم؛ شامل داده‌های تجربی جامعه.
Spectroscopy Now — Educational Resources (spectroscopynow.com). — مقالات آموزشی طیف‌سنجی برای دانش‌آموزان و دانشجویان.

منابع IYPT

IYPT 2027 Official Problem Set — Problem 2: Disc Spectrometer. iypt.org — صورت مسئله رسمی و راهنمای داوری.
IYPT Solutions Archive — حل‌های تیم‌های برتر سال‌های پیشین برای مسائل مشابه طیف‌سنجی.

ویدیوهای آموزشی (YouTube)

Diffraction, Gratings, Spectral & Angular Resolution — Walter Lewin, MIT 8.03 (سخنرانی ۲۱). استاد والتر لوین مفاهیم توری پراش، قدرت تفکیک طیفی و زاویه‌ای را با آزمایش‌های کلاسی توضیح می‌دهد.
Diffraction, Resolution — MIT 8.03SC Physics III (Yen-Jie Lee). سخنرانی ۲۲ از درس فیزیک ۳ MIT؛ پوشش کامل پراش فرانهوفر و رابطه آن با قدرت تفکیک.
Diffraction grating | Light waves | Physics — Khan Academy. آموزش مقدماتی معادله توری پراش با مثال‌های عددی گام‌به‌گام.
CDs and DVDs as Diffraction Gratings — F-J Physics. نشان می‌دهد چگونه CD و DVD به‌عنوان توری پراش انعکاسی عمل می‌کنند.
Lab: CD Spectrometer — MIT 6.S079 Nanomaker. آزمایشگاه عملی ساخت طیف‌سنج با CD در دانشگاه MIT.
Build your own CD Spectroscope — Exploratorium Science Snacks. راهنمای ساخت طیف‌سنج خانگی با CD و جعبه مقوایی به‌همراه توضیح فیزیک پشت آن.

مقالات دانشگاهی با دسترسی آزاد

DeWeerd, A. J. (2016). CD, DVD, and Blu-Ray Disc Diffraction with a Laser Ray Box. The Physics Teacher, 54(5), 300–302. — اندازه‌گیری دقیق فاصله شیارهای CD، DVD و Blu-ray با لیزر؛ مقایسه با مقادیر سازنده. [PDF آزاد]
Wakabayashi, F. et al. (2002). Exploring the diffraction grating using a He-Ne laser and a CD-ROM. Journal of Chemical Education, 79(6), 703. — استفاده از لیزر He-Ne و CD برای تعیین طول موج؛ روش کالیبراسیون و ارزیابی خطا. [صفحه مقاله]
A DVD Spectroscope: A Simple, High-Resolution Classroom Spectroscope. ResearchGate. — ساخت طیف‌سنج با DVD برای دقت بالاتر. [دسترسی آزاد]

یادداشت‌های درسی دانشگاهی (دسترسی آزاد)

MIT OpenCourseWare — 2.71 Optics (Spring 2014): Lecture Notes. جزوات کامل درس اپتیک MIT؛ شامل پراش فرانهوفر، توری‌ها، و قدرت تفکیک.
MIT OpenCourseWare — Physics III Ch.13: Interference and Diffraction (PDF). فصل ۱۳ کتاب درسی 8.03SC؛ اشتقاق ریاضی کامل پراش توری.
OpenStax University Physics — Section 4.4: Diffraction Gratings. فصل رایگان از کتاب فیزیک دانشگاهی OpenStax؛ پاشندگی زاویه‌ای، قدرت تفکیک، مثال‌های حل‌شده.
Physics LibreTexts — 4.05: Diffraction Gratings. نسخه تعاملی آنلاین با قابلیت جستجو.
SMU Physics — Diffraction and Compact Discs (PDF). راهنمای آزمایشگاه دانشگاه SMU برای اندازه‌گیری فاصله شیار CD با لیزر؛ جدول داده و تحلیل خطا.

تصاویر مرتبط

Disc

شبیه‌سازی تعاملی (Python)

این شبیه‌سازی مستقیماً در مرورگر شما اجرا می‌شود — بدون نیاز به نصب Python. بارگذاری اولیه ممکن است چند ثانیه طول بکشد.

فاصله شیارها d 1.6 μm

مرتبه پراش m 1

زاویه تابش θᵢ 0 deg

پهنای پرتو 20 mm

برای شروع، دکمه زیر را بفشارید.

(a) نمودار زاویه پراش بر حسب طول موج — منحنی رنگی از معادله توری d·sin(θ) = m·λ؛ نقاط سیاه اندازه‌گیری‌های دانش‌آموز با LED یا لیزر هستند.
(b) طیف رنگی دیده‌شده روی پرده — هر رنگ در زاویه متفاوتی ظاهر می‌شود؛ خطوط سفید موقعیت LED های اندازه‌گیری‌شده را نشان می‌دهند.
(c) خطای اندازه‌گیری (θ_اندازه − θ_تئوری) — اختلاف‌های کمتر از ±۰.۵ درجه نشان‌دهنده دقت خوب آزمایش است.

آزمایشگاه کد Python

این کد آماده را می‌توانید ویرایش کنید، داده‌های آزمایشی خودتان را وارد کنید و مستقیماً در مرورگر اجرا کنید — بدون نیاز به نصب Python.

Python — قابل ویرایش

# ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
#  آزمایشگاه کد: طیف‌نگار دیسکی (IYPT 2027 — مسئله ۲)
#  کد را ویرایش کنید، داده‌های خودتان را وارد کنید، اجرا کنید
# ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# ─── ۱. داده‌های آزمایشی شما ────────────────────────────
# طول موج LED یا لیزرهایی که استفاده کردید (nm)
lam_nm_data = np.array([405, 532, 589, 635, 650])   # <-- طول موج‌های واقعی

# زاویه پراش مرتبه اول اندازه‌گیری‌شده (درجه)
theta_meas  = np.array([14.6, 19.5, 21.7, 23.4, 24.0])  # <-- اندازه‌گیری کنید

# پارامترهای آزمایش شما
d   = 1.6e-6   # فاصله شیارهای CD ≈ 1.6 μm  (DVD ≈ 0.74 μm)
m   = 1        # مرتبه پراش
N   = 12500    # تعداد شیارهای فعال (پهنای پرتو / d)

# ─── ۲. مدل نظری ────────────────────────────────────────
# معادله توری (تابش عمودی): sin(θ) = m·λ/d
lam_theory = np.linspace(380e-9, 780e-9, 500)
sin_th = m * lam_theory / d
mask   = sin_th <= 1.0
theta_theory = np.degrees(np.arcsin(np.clip(sin_th[mask], -1, 1)))
lam_theory_vis = lam_theory[mask] * 1e9   # nm

# پیش‌بینی نظری برای داده‌ها
theta_pred = np.degrees(np.arcsin(np.clip(m * lam_nm_data * 1e-9 / d, -1, 1)))
residuals  = theta_meas - theta_pred

# قدرت تفکیک نظری
R = m * N
delta_lam = 550 / R   # توانایی جداسازی در 550 nm (nm)

# ─── ۳. نمودارها ────────────────────────────────────────
fig, axes = plt.subplots(1, 3, figsize=(13, 4.5))
fig.suptitle('Disc Spectrometer — Data vs Theory', fontsize=12, fontweight='bold')

def wl_to_rgb(w_nm):
    w = float(w_nm)
    if   w < 440: r,g,b = -(w-440)/60,  0,           1
    elif w < 490: r,g,b = 0,           (w-440)/50,   1
    elif w < 510: r,g,b = 0,            1,          -(w-510)/20
    elif w < 580: r,g,b = (w-510)/70,   1,            0
    elif w < 645: r,g,b = 1,          -(w-645)/65,   0
    else:         r,g,b = 1,            0,            0
    return (max(0,min(1,r)), max(0,min(1,g)), max(0,min(1,b)))

# نمودار a: θ vs λ
ax = axes[0]
for i in range(len(lam_theory_vis)-1):
    ax.plot(lam_theory_vis[i:i+2], theta_theory[i:i+2],
            color=wl_to_rgb(lam_theory_vis[i]), lw=2.5)
ax.scatter(lam_nm_data, theta_meas, color='#333', s=80, zorder=5,
           edgecolors='white', lw=1, label='Measured')
for lam_i, th_i in zip(lam_nm_data, theta_meas):
    ax.annotate(f'{lam_i}nm', (lam_i, th_i), textcoords='offset points',
                xytext=(5, 4), fontsize=7, color='#333')
ax.set_xlabel('Wavelength lambda (nm)')
ax.set_ylabel('Diffraction angle theta (deg)')
ax.set_title('(a) Grating Equation: sin(theta)=m*lam/d')
ax.legend(fontsize=8.5)
ax.grid(True, alpha=0.3, ls='--')
ax.set_xlim(370, 790)

# نمودار b: طیف رنگی
ax = axes[1]
ax.set_facecolor('#111')
for i in range(len(lam_theory_vis)-1):
    ax.axvspan(theta_theory[i], theta_theory[i+1],
               color=wl_to_rgb(lam_theory_vis[i]), alpha=0.95)
for lam_i, th_i in zip(lam_nm_data, theta_meas):
    ax.axvline(th_i, color='white', lw=1.5, ls='--', alpha=0.8)
    ax.text(th_i, 0.05, f'{lam_i}', transform=ax.get_xaxis_transform(),
            fontsize=7, color='white', ha='center')
ax.set_xlim(theta_theory.min(), theta_theory.max())
ax.set_xlabel('Diffraction angle (deg)')
ax.set_yticks([])
ax.set_title('(b) Spectrum — white lines = your LEDs')

# نمودار c: خطای اندازه‌گیری
ax = axes[2]
colors_data = [wl_to_rgb(lam_i) for lam_i in lam_nm_data]
bars = ax.bar(lam_nm_data, residuals, width=18,
              color=colors_data, alpha=0.85, edgecolor='#333', lw=0.8)
ax.axhline(0, color='#333', lw=1.5, ls='--')
ax.axhline( 0.5, color='#aaa', lw=1, ls=':', alpha=0.7)
ax.axhline(-0.5, color='#aaa', lw=1, ls=':', alpha=0.7)
ax.text(lam_nm_data[-1]+8, 0.52, '±0.5 deg', fontsize=7.5, color='#888')
for bar, res in zip(bars, residuals):
    ax.text(bar.get_x()+bar.get_width()/2, res + (0.05 if res>=0 else -0.12),
            f'{res:+.2f}', ha='center', fontsize=8, fontweight='bold')
ax.set_xlabel('Wavelength (nm)')
ax.set_ylabel('Residual theta_meas - theta_theory (deg)')
ax.set_title('(c) Measurement Error (Residuals)')
ax.grid(True, axis='y', alpha=0.3, ls='--')
for sp in ['top','right']: ax.spines[sp].set_visible(False)


# ── Watermark ────────────────────────────────────────────────────────────────
for _wx in [0.18, 0.50, 0.82]:
    for _wy in [0.22, 0.52, 0.80]:
        fig.text(_wx, _wy, 'physicsme.ir',
                 fontsize=16, color='#b0b8cc', alpha=0.22,
                 ha='center', va='center', rotation=30,
                 transform=fig.transFigure, fontweight='bold', style='italic')
        fig.text(_wx, _wy - 0.055, 'man_e fizikee',
                 fontsize=10, color='#b0b8cc', alpha=0.22,
                 ha='center', va='center', rotation=30,
                 transform=fig.transFigure, fontweight='bold', style='italic')
fig.text(0.98, 0.012, '© physicsme.ir  ·  man_e fizikee',
         fontsize=8, color='#888', alpha=0.75,
         ha='right', va='bottom', transform=fig.transFigure)
plt.tight_layout()

# ─── ۴. خلاصه عددی ──────────────────────────────────────
print(f"Grating spacing: d = {d*1e6:.2f} um  ({1e-3/d*1e6:.0f} lines/mm)")
print(f"Order: m = {m}")
print(f"Resolving power: R = m*N = {R}  →  min. resolvable delta_lam ~ {delta_lam:.2f} nm at 550nm")
print(f"RMS error: {np.sqrt(np.mean(residuals**2)):.3f} deg")
print(f"Max error: {np.max(np.abs(residuals)):.3f} deg at {lam_nm_data[np.argmax(np.abs(residuals))]} nm")

آماده برای اجرا

خروجی