مسئله 1 IYPT 2027: ۱. عینک سوراخ‌سوراخ: ابداع خودت

شرح و تحلیل مسئله

صورت مسئله رسمی

یک عینک آفتابی با سوراخ‌های ریز طراحی کنید که بدون استفاده از لنز، دید را تصحیح کند و شدت نور را کاهش دهد. چه فاکتورهایی بر عملکرد آن تأثیر می‌گذارند؟

مفاهیم فیزیکی کلیدی

اپتیک هندسی — عمق میدان

هر سوراخ ریز به‌عنوان یک دیافراگم کوچک عمل می‌کند. وقتی قطر منفذ کاهش پیدا می‌کند، مخروط نوری که از آن عبور می‌کند باریک‌تر می‌شود و دایره انحراف روی شبکیه (circle of confusion) کوچک‌تر می‌شود — یعنی حتی چشم دوربین یا نزدیک‌بین هم تصویر نسبتاً واضح‌تری می‌بیند.

d_blur = D × |1/f − 1/v − 1/u|

که در آن:
d_blur : قطر دایره انحراف (blur circle) روی شبکیه — به متر (m)
D : قطر سوراخ پین‌هول — به متر (m)
f : فاصله کانونی چشم — به متر (m) ≈ 0.017 m
v : فاصله تصویر از عدسی چشم تا شبکیه — به متر (m) ≈ 0.017 m
u : فاصله شیء تا عدسی چشم — به متر (m)

با کاهش D (قطر سوراخ)، دایره انحراف کوچک‌تر می‌شود و عمق میدان افزایش می‌یابد.

اپتیک موجی — پراش

کاهش بیش از حد قطر سوراخ یک محدودیت موجی ایجاد می‌کند: وقتی D به اندازه طول موج نور نزدیک شود، پراش (Diffraction) غالب می‌شود و الگوی Airy تصویر را تار می‌کند. حد تفکیک ریلی:

θ_min = 1.22 × λ / D

که در آن:
θ_min : کمترین زاویه قابل تفکیک (حد ریلی) — به رادیان (rad)
λ : طول موج نور — به متر (m)؛ برای نور سبز: λ ≈ 550 nm = 550×10⁻⁹ m
D : قطر سوراخ پین‌هول — به متر (m)
1.22 : عدد ریلی (ثابت بی‌بعد، از حل معادله Bessel)

نتیجه: یک قطر بهینه وجود دارد که بین تاری هندسی (D بزرگ) و تاری پراشی (D کوچک) تعادل برقرار می‌کند.

قطر بهینه سوراخ

در نقطه‌ای که تاری هندسی با تاری پراشی برابر می‌شود، مجموع تاری کمینه است. برای فاصله تصویر v (تقریباً برابر فاصله کانونی چشم، ≈ ۱۷ میلی‌متر) و طول موج نور سبز (λ ≈ ۵۵۰ nm):

D_opt ≈ √(2.44 × λ × v) ≈ 0.15 mm

که در آن:
D_opt : قطر بهینه سوراخ — به متر (m)
λ : طول موج نور — به متر (m)؛ برای نور سبز: λ ≈ 550 nm = 550×10⁻⁹ m
v : فاصله شبکیه از عدسی چشم — به متر (m)؛ v ≈ 17 mm = 0.017 m
2.44 : ثابت پراش ریلی (= 2 × 1.22) — بی‌بعد

این مقدار با سوراخ‌های عینک‌های pinhole تجاری (۰.۱ تا ۰.۳ میلی‌متر) تطابق خوبی دارد.

پارامترهای قابل بررسی

قطر سوراخ D — تأثیر مستقیم بر عمق میدان و شدت پراش
فاصله بین سوراخ‌ها — اگر خیلی نزدیک باشند، الگوهای پراش تداخل می‌کنند
الگوی چیدمان — شبکه مربعی در برابر شبکه لانه‌زنبوری
ضخامت صفحه — صفحه ضخیم‌تر = زاویه پذیرش کمتر = میدان دید محدودتر
تعداد سوراخ در واحد سطح — بیشتر = روشنایی بیشتر ولی ریسک تداخل

روش آزمایش پیشنهادی

چند نمونه با قطرهای مختلف (۰.۱ تا ۰.۵ mm) بسازید
برای هر نمونه وضوح دید را با جدول بینایی‌سنجی (Snellen chart) اندازه بگیرید
شدت نور عبوری را با لوکس‌متر اندازه بگیرید
زاویه دید مفید را با چرخاندن تدریجی عینک تعیین کنید
نتایج را با مدل نظری بالا مقایسه کنید

تصاویر مرتبط

pinholes

شبیه‌سازی تعاملی (Python)

این شبیه‌سازی مستقیماً در مرورگر شما اجرا می‌شود — بدون نیاز به نصب Python. بارگذاری اولیه ممکن است چند ثانیه طول بکشد.

قطر سوراخ D 0.15 mm

طول موج نور λ 550 nm

خطای انکساری چشم 2 D

فاصله بین سوراخ‌ها 1 mm

برای شروع، دکمه زیر را بفشارید.

(a) نمودار قطر دایره تاری روی شبکیه در برابر قطر سوراخ — نشان می‌دهد که تاری کل در قطر بهینه D_opt به کمینه می‌رسد؛ برای قطرهای کوچک‌تر پراش و برای قطرهای بزرگ‌تر تاری هندسی غالب است.
(b) نمودار درصد عبور نور در برابر قطر سوراخ — نشان‌دهنده وابستگی مربعی شدت نور عبوری به نسبت D/pitch است.
(c) مقایسه مقادیر تاری پراشی، هندسی و کل (بر حسب میکرومتر) — برای قطر انتخاب‌شده توسط کاربر.

آزمایشگاه کد Python

این کد آماده را می‌توانید ویرایش کنید، داده‌های آزمایشی خودتان را وارد کنید و مستقیماً در مرورگر اجرا کنید — بدون نیاز به نصب Python.

Python — قابل ویرایش

# ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
#  آزمایشگاه کد: عینک پین‌هول (IYPT 2027 — مسئله ۱)
#  کد را ویرایش کنید، داده‌های خودتان را وارد کنید، اجرا کنید
# ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# ─── ۱. داده‌های آزمایشی شما ────────────────────────────
# قطر سوراخ (mm) — با دقت اندازه بگیرید
D_mm = [0.10, 0.15, 0.20, 0.30, 0.40, 0.50]   # <-- اعداد واقعی را وارد کنید

# وضوح دید اندازه‌گیری‌شده با جدول Snellen  (1.0 = دید کامل)
acuity_measured = [0.72, 0.88, 0.82, 0.65, 0.48, 0.34]  # <-- اندازه‌گیری کنید

# شدت نور عبوری (% نسبت به نور مستقیم، با لوکس‌متر)
light_pct = [0.9, 2.1, 3.8, 8.5, 15.1, 23.6]   # <-- اندازه‌گیری کنید

# ─── ۲. مدل نظری (پین‌هول ساده) ─────────────────────────
# تاری هندسی = خود قطر سوراخ (تصویر نقطه از پشت سوراخ)
# تاری پراشی = قرص Airy روی شبکیه
v_mm   = 17.0         # فاصله شبکیه (mm)
lam_mm = 550e-6       # طول موج نور سبز (mm)

D_theory = np.linspace(0.01, 0.80, 400)
blur_geo  = D_theory                           # mm — تاری هندسی = قطر سوراخ
blur_diff = 2.44 * lam_mm * v_mm / D_theory   # mm — قرص Airy
blur_tot  = np.sqrt(blur_geo**2 + blur_diff**2)

# D بهینه: blur_geo = blur_diff → D_opt = √(2.44 × λ × v)
D_opt = np.sqrt(2.44 * lam_mm * v_mm)

# وضوح دید تقریبی: هرچه تاری کمتر → وضوح بیشتر
blur_ref      = blur_tot.min()
acuity_theory = np.clip(blur_ref / blur_tot, 0, 1)

# ─── ۳. نمودارها ────────────────────────────────────────
fig, axes = plt.subplots(1, 3, figsize=(13, 4.5))
fig.suptitle('Pinhole Sunglasses — Data vs Theory', fontsize=12, fontweight='bold')

# نمودار a: وضوح دید
ax = axes[0]
ax.plot(D_theory, acuity_theory, '-', color='#1a73e8', lw=2, label=r'Theory:  propto b_{min}/b_{tot}$')
ax.scatter(D_mm, acuity_measured, color='#e65100', s=80, zorder=5, label='Measured')
ax.axvline(D_opt, color='#6a0dad', ls=':', lw=1.5, label=f'D_opt={D_opt*1000:.0f} um')
# برچسب روی منحنی
ax.text(0.35, float(np.interp(0.35, D_theory, acuity_theory)) + 0.04,
        r' propto b_{min}/b_{tot}$', color='#1a73e8', fontsize=8, fontstyle='italic')
ax.set_xlabel('Hole diameter D (mm)')
ax.set_ylabel('Relative visual acuity')
ax.set_title('(a) Visual Acuity vs D')
ax.legend(fontsize=8.5)
ax.set_xlim(0, 0.85); ax.set_ylim(0, 1.1)
ax.grid(True, alpha=0.3, ls='--')

# نمودار b: عبور نور
ax = axes[1]
pitch_mm  = 1.0
D_t2      = np.linspace(0.01, pitch_mm * 0.98, 200)
theory_lt = (D_t2 / pitch_mm) ** 2 * 100
ax.plot(D_t2, theory_lt, '-', color='#1a73e8', lw=2, label=r'Theory: =(D/P)^2	imes100%$')
ax.scatter(D_mm, light_pct, color='#e65100', s=80, zorder=5, label='Measured')
ax.text(0.60, float((0.60/pitch_mm)**2 * 100) + 3,
        r'=(D/P)^2 	imes 100%$', color='#1a73e8', fontsize=8, fontstyle='italic')
ax.set_xlabel('Hole diameter D (mm)')
ax.set_ylabel('Light transmission (%)')
ax.set_title('(b) Light Transmission vs D')
ax.legend(fontsize=8.5); ax.set_ylim(0, 110)
ax.grid(True, alpha=0.3, ls='--')

# نمودار c: مقایسه تاری‌ها
ax = axes[2]
ax.plot(D_theory, blur_diff * 1000, '--', color='#1a73e8', lw=1.8, label=r'Diffraction: =2.44lambda v/D$')
ax.plot(D_theory, blur_geo  * 1000, '--', color='#e65100', lw=1.8, label=r'Geometric: =D$')
ax.plot(D_theory, blur_tot  * 1000, '-',  color='#2d6a4f', lw=2.5, label=r'Total: =sqrt{b_g^2+b_d^2}$')
ax.axvline(D_opt, color='#6a0dad', ls=':', lw=1.5, label=f'D_opt={D_opt*1000:.0f} um')
ax.set_xlabel('Hole diameter D (mm)')
ax.set_ylabel('Blur on retina (um)')
ax.set_title('(c) Blur Components')
ax.set_xlim(0, 0.85)
ax.legend(fontsize=7.5, loc='upper right')
ax.grid(True, alpha=0.3, ls='--')


# ── Watermark ────────────────────────────────────────────────────────────────
for _wx in [0.18, 0.50, 0.82]:
    for _wy in [0.22, 0.52, 0.80]:
        fig.text(_wx, _wy, 'physicsme.ir',
                 fontsize=16, color='#b0b8cc', alpha=0.22,
                 ha='center', va='center', rotation=30,
                 transform=fig.transFigure, fontweight='bold', style='italic')
        fig.text(_wx, _wy - 0.055, 'man_e fizikee',
                 fontsize=10, color='#b0b8cc', alpha=0.22,
                 ha='center', va='center', rotation=30,
                 transform=fig.transFigure, fontweight='bold', style='italic')
fig.text(0.98, 0.012, '© physicsme.ir  ·  man_e fizikee',
         fontsize=8, color='#888', alpha=0.75,
         ha='right', va='bottom', transform=fig.transFigure)
plt.tight_layout()

# ─── ۴. خلاصه عددی ──────────────────────────────────────
print(f"D optimal (theory):   {D_opt*1000:.1f} um  ({D_opt:.3f} mm)")
print(f"Minimum total blur:    {blur_tot.min()*1000:.2f} um")
print(f"At D=0.15mm → blur:   {np.interp(0.15, D_theory, blur_tot)*1000:.1f} um")

آماده برای اجرا

خروجی