۱۳. آونگ گردابه‌ای

صورت مسئله رسمی

«یک آونگ با گلوله‌ی استوانه‌ای که محور آن عمودی است، بالای یک کانال آب جاری آویزان می‌شود. وقتی گلوله به‌طور جزئی زیر آب است، جریان ممکن است آونگ را در جهتی عمود بر جریان به نوسان درآورد. این پدیده را توضیح دهید و تعیین کنید که چگونه به پارامترهای مرتبط وابسته است.»

خیابان گردابی کارمان و نیروی عرضی

جریان با سرعت $U$ از کنار یک استوانه‌ی دایره‌ای با قطر $D$ عبور می‌کند و در پشت آن، گردابه‌ها به‌صورت متناوب از دو طرف جدا می‌شوند (خیابان گردابی کارمان). فرکانس ریزش گردابه‌ها از عدد استروهال $St$ تعیین می‌شود:

$$boxed{f_s = frac{St cdot U}{D}},qquad St approx 0.20quad text{برای}quad Re = 10^3 text{–} 10^5$$

که $Re = UD/nu$ عدد رینولدز و $nu$ ویسکوزیته‌ی سینماتیکی آب است. ریزش متناوب گردابه‌ها یک نیروی برا (lift) عرضی نوسانی روی استوانه اعمال می‌کند:

$$F_L(t) = frac{1}{2}rho U^2 D L_{rm sub}, C_L,sin(2pi f_s t)$$

که $rho$ چگالی آب، $L_{rm sub}$ طول غوطه‌وری استوانه، و $C_L approx 0.3$–$0.5$ ضریب برا است.

ارتعاش القایی گردابه (VIV) و پدیده‌ی قفل‌شدن

فرکانس طبیعی آونگ (بدون اثر هیدرودینامیک) برای آونگ با طول $L$ و شتاب گرانش $g$:

$$f_n = frac{1}{2pi}sqrt{frac{g}{L}}$$

هنگامی که $f_s approx f_n$، نیروی عرضی در رزونانس است و دامنه‌ی نوسان آونگ به‌شدت افزایش می‌یابد — این پدیده‌ی ارتعاش القایی گردابه (VIV) نام دارد.

پارامتر مهم، سرعت کاهش‌یافته (Reduced Velocity) است:

$$U_r = frac{U}{f_n cdot D}$$

پدیده‌ی قفل‌شدن (Lock-in): در محدوده‌ی $U_r approx 5$–$8$، فرکانس ریزش گردابه‌ها با فرکانس نوسان آونگ همگام می‌شود — حتی اگر سرعت جریان کمی تغییر کند. در این محدوده دامنه‌ی نوسان به ماکسیمم می‌رسد:

$$A_{max} approx frac{C_L,rho, U^2, D, L_{rm sub}}{2,(2pi f_n)^2, m_{rm eff}, zeta}$$

که $m_{rm eff}$ جرم موثر آونگ و $zeta$ نسبت میرایی است.

پارامترها

راه‌اندازی آزمایش

برای اندازه‌گیری دامنه‌ی نوسان عرضی بر حسب $U$ و $D$:

1. یک کانال آب با سرعت قابل تنظیم (با پمپ و شیر تنظیم) بسازید.
2. آونگ با گلوله‌ی استوانه‌ای را روی کانال آویزان کنید. عمق غوطه‌وری را ثابت نگه دارید.
3. سرعت جریان را از صفر تا بیشینه‌ی ممکن افزایش دهید و دامنه‌ی عرضی آونگ را با دوربین یا پتانسیومتر ثبت کنید.
4. نمودار $A/D$ بر حسب $U_r$ رسم کنید — قله‌ی واضحی در $U_r approx 5$–$8$ مشاهده می‌شود.
5. آزمایش را برای طول‌های مختلف آونگ $L$ (و در نتیجه $f_n$ متفاوت) تکرار کنید.
6. برای تعیین $St$، فرکانس ریزش گردابه‌ها را با سیم داغ (hot-wire) یا حسگر فشار خارج از محدوده‌ی قفل اندازه بگیرید.

مراجع علمی

• Blevins, R. D., Flow-Induced Vibration, 2nd ed., Van Nostrand Reinhold, 1990 — فصل VIV استوانه.
• Williamson, C. H. K., Govardhan, R., “Vortex-Induced Vibrations,” Annu. Rev. Fluid Mech. 36 (2004) 413–455.
• Sarpkaya, T., “A critical review of the intrinsic nature of vortex-induced vibrations,” J. Fluids Struct. 19 (2004) 389–447.
• Zdravkovich, M. M., Flow Around Circular Cylinders, Vol. 1, Oxford, 1997.