۱۴. کرم‌های غیرنیوتونی

۱۴. کرم‌های غیرنیوتونی

یک سیال غیرنیوتونی دیلاتانت (مثلاً تعلیق آب و نشاسته‌ی ذرت) در یک مخزن به‌صورت عمودی به ارتعاش درمی‌آید. وقتی شرایط خاصی برقرار باشد، ساختارهای کرم‌مانندی که از سطح بالا می‌آیند ممکن است تشکیل شوند. این پدیده را توضیح دهید و بررسی کنید.

مخلوط نشاسته‌ی ذرت و آب (oobleck) روی یک بلندگوی لرزنده ساختارهای کرم‌مانند پیچیده‌ای تشکیل می‌دهد که راه می‌روند، شکل می‌گیرند و از بین می‌روند. این پدیده از غیرخطی‌بودن رئولوژیک و دینامیک موج‌های سطحی ناشی می‌شود.

رئولوژی سیال غیرنیوتونی: مدل قانون توان

برای یک سیال غیرنیوتونی با مدل قانون توان (Power Law / Ostwald–de Waele):

τ = K · γ̇ⁿ

که τ تنش برشی (Pa)، γ̇ نرخ کرنش برشی (s⁻¹)، K ضریب سازگاری (consistency index)، و n شاخص توان است:

• n < 1: سیال شبه‌پلاستیک (shear-thinning) — مانند خمیردندان، خون
• n = 1: سیال نیوتونی — آب، هوا
• n > 1: سیال دیلاتانت (shear-thickening) — نشاسته‌ی ذرت

ویسکوزیته‌ی ظاهری

η_app = τ/γ̇ = K · γ̇^(n−1)

برای نشاسته‌ی ذرت (oobleck)، n ≈ 1.5–2.5 و K ≈ 10–100 Pa·s^n. در نرخ کرنش بالا، ویسکوزیته می‌تواند به ۱۰۰ برابر آب برسد.

معادله‌ی حرکت سیال لایه‌ای غیرنیوتونی (مدل لایه‌ی نازک)

برای یک لایه‌ی نازک از سیال power-law روی سطح لرزنده:

∂h/∂t + ∂/∂x [K̃ · h^(2n+1) · |∂h/∂x|^(n−1) · ∂h/∂x] = f(x,t)

که h(x,t) ارتفاع سطح و K̃ = K(2n+1)/(ρ(n+1)) ضریب انتشار غیرخطی است.

مکانیزم شکل‌گیری کرم

1. بی‌پایداری Faraday: لرزش با فرکانس f → موج‌های سطحی با f/2 (subharmonic)
2. غیرخطی شدن: در دامنه‌ی بالا، غیرخطی‌بودن رئولوژی انرژی را به فرکانس‌های بالاتر منتقل می‌کند
3. کوپل موج-ماده: موج‌های سطحی با غلظت محلول کوپل می‌شوند (مناطق با γ̇ بالا → ماده جدا می‌شود)
4. ساختارهای کرم: شامل تجمع محلی ماده‌ی سخت‌شده در ستون‌های باریک

معیار Faraday برای شروع بی‌پایداری

a · ω² / g = Γ_c (Γ_c ≈ 1 برای سیال نیوتونی)

برای oobleck به دلیل ویسکوزیته‌ی بالا، Γ_c ممکن است به ۳–۵ برسد.

آزمایش عملی

• نسبت ۲ قسمت نشاسته ذرت به ۱ قسمت آب (وزنی)
• قرار دادن روی بلندگو، فرکانس ۲۰–۸۰ Hz، دامنه تنظیم‌شده
• ضبط با دوربین از بالا با فریم‌ریت بالا
• اندازه‌گیری: فرکانس آستانه، طول موج کرم، سرعت حرکت کرم

منابع

• Merkt et al. (2004). Phys. Rev. Lett. 92, 184501 — “Persistent holes in non-Newtonian fluid”
• Deegan (2012). Phys. Rev. E 85, 016705 — “Stress-induced worm patterns”
• Bird, Armstrong & Hassager (1987). Dynamics of Polymeric Liquids, Vol. 1 — Ch. 4

---

مقالات مرتبط در physicsme.ir

• فشار در شاره‌ها
• اصل برنولی
• تشدید — ناپایداری فارادی نزدیک رزونانس
• نوسان و امواج — مقدمه

تحلیل پیشرفته: رئولوژی غیرخطی و ناپایداری فارادی

رئولوژی قانون توانی — اشتقاق کامل

برای سیال با رئولوژی قانون توانی (Power-Law / Ostwald-de Waele):

τ = K·γ̇ⁿ

جایی که K [Pa·sⁿ] ضریب سازگاری، γ̇ نرخ برش، و n اندیس توان است:

• n = 1: نیوتنی (آب، روغن)
• n > 1: ضخیم‌شونده با برش (شبه‌جامد — cornstarch + water)
• n < 1: نازک‌شونده با برش (خمیردندان، رنگ، خون)

لزجت ظاهری:

μ_app = τ/γ̇ = K·γ̇ⁿ⁻¹

برای n > 1 (cornstarch): μ_app با γ̇ افزایش می‌یابد — جریان سریع‌تر ≡ مایع سفت‌تر.

ناپایداری فارادی — تحلیل خطی

یک لایه‌ی نازک سیال با ارتفاع h₀ روی بستری که با Γ = A(2πf)²/g لرزانده می‌شود، در آستانه‌ی ناپایداری:

رابطه‌ی پاشش (dispersion relation) با لرزش:

ω² = (gk + σk³/ρ) · tanh(kh₀) · [1 + Γ·δ(t)]

جایی که δ(t) پالس دوره‌ای است. این معادله‌ی ماتیو-هیل است و پاسخ ناپایدار دارد وقتی:

Γ ≥ Γ_c(k, f, ν)

طول موج بهینه‌ی الگو از رابطه‌ی پاشش:

λ_Faraday = 2π / k_c ، k_c: از ω = πf (نصف فرکانس درایو)

رابطه‌ی کاپیلاری-گرانشی

طول کاپیلاری l_c = √(σ/ρg) ≈ 2.7 mm (برای آب) تعیین می‌کند:

• k >> 1/l_c: امواج مویینگی (capillary) — σk³/ρ غالب، ω ∝ k^3/2
• k << 1/l_c: امواج گرانشی — gk غالب، ω ∝ k^1/2

مقایسه‌ی مایعات رئولوژیک

ماده	نوع	n	رفتار زیر لرزش
نشاسته ذرت + آب (2:1)	ضخیم‌شونده	n ≈ 1.8	کرم‌های متراکم، حرکت ضربه‌ای
گلیسرین + آب (80:20)	نیوتنی	n = 1	امواج فارادی یکنواخت
خمیر (کارباپول)	نازک‌شونده + ویسکوپلاستیک	n ≈ 0.4	کرم‌های کشیده، پایدار

مکانیزم تشکیل «کرم»

تحت لرزش عمودی Γ > Γ_c:

1. ناپایداری فارادی الگوی موجی با λ_F ≈ 3–8 mm تشکیل می‌دهد
2. در سیال ضخیم‌شونده، قله‌های امواج از جریان سریع «سخت می‌شوند»
3. قله‌ها کشیده می‌شوند و ساختارهای رشته‌مانند «کرم» تشکیل می‌دهند
4. تعداد و طول کرم‌ها با Γ − Γ_c (فاصله از آستانه) مقیاس می‌شود

مراجع علمی

• Larson, R.G. (1999). The Structure and Rheology of Complex Fluids. Oxford University Press. — فصل ۱: رئولوژی سیالات غیرنیوتونی؛ مدل قانون توان و تنش برشی.
• Faraday, M. (1831). “On a peculiar class of acoustical figures.” Phil. Trans. R. Soc. Lond., 121, 299–340. — اولین توضیح امواج فارادی روی سطح سیال لرزاننده؛ پایه‌ی فیزیک تشکیل کرم‌ها در نشاسته لرزان.
• Merkt, F.S., Deegan, R.D., Goldman, D.I., Rericha, E.C. & Swinney, H.L. (2004). “Persistent holes in a fluid.” Phys. Rev. Lett., 92, 184501. — ایجاد حفره‌های پایدار در سیال غیرنیوتونی تحت ارتعاش؛ مستقیماً مرتبط با پدیده‌ی کرم‌ها.
• Waitukaitis, S.R. & Jaeger, H.M. (2012). “Impact-activated solidification of dense suspensions via dynamic jamming fronts.” Nature, 487, 205–209. — مکانیزم جامدسازی آنی نشاسته‌ی ذرت در برابر ضربه؛ توضیح رفتار دیلاتانت.
• Barnes, H.A. (1989). “Shear-thickening (dilatancy) in suspensions of non-aggregating solid particles in Newtonian liquids.” J. Rheol., 33(2), 329–366. — بررسی جامع پدیده‌ی دیلاتانسی در سوسپانسیون‌ها؛ مرجع اصلی برای فیزیک نشاسته‌ی ذرت.
• Cross, M.C. & Hohenberg, P.C. (1993). “Pattern formation outside of equilibrium.” Rev. Mod. Phys., 65, 851–1112. — نظریه‌ی کلی تشکیل الگو در سیستم‌های ناپایدار دور از تعادل؛ پایه‌ی نظری تشکیل کرم‌ها.