مسئله 10 IYPT 2027: ۱۰. گرداب هوا

شرح و تحلیل مسئله

صورت مسئله رسمی

یک گرداب حلقوی هوا (vortex ring) بسازید و رفتار آن را بررسی کنید. عوامل مؤثر بر سرعت حرکت، پایداری و فاصله طی‌شده توسط گرداب را تعیین کنید.

مفاهیم فیزیکی کلیدی

تشکیل گرداب حلقوی

وقتی هوا از یک دهانه دایروی به سرعت خارج می‌شود، لبه دهانه یک صفحه گرداب (vortex sheet) ایجاد می‌کند که به شکل حلقه‌ای جمع می‌شود. عدد Strouhal تشکیل گرداب را توصیف می‌کند:

St = f · D / U

سرعت حرکت گرداب حلقوی

گرداب حلقوی با توزیع گردابه‌ای تروئیدال، سرعت انتقالی دارد که با فرمول Kelvin-Hicks داده می‌شود:

U ≈ (Γ / 4πR) · [ln(8R/a) − 1/4]

که Γ گردابه‌پذیری کل، R شعاع حلقه، و a شعاع مقطع تروئید است.

بقای گردابه‌پذیری

در سیالات ایده‌آل، گردابه‌پذیری بر اساس قضیه Kelvin باید ثابت بماند. در هوای واقعی، لزجت بتدریج انرژی گرداب را می‌گیرد و آن را نابود می‌کند.

پارامترهای قابل بررسی

شعاع دهانه R — سرعت گرداب با R⁻¹ مقیاس می‌شود
فشار پالس هوا — تأثیر بر Γ و سرعت
شکل دهانه — دایره در برابر بیضی
حضور دود یا بخار — تأثیر روی پایداری
برخورد دو گرداب هم‌محور — پدیده leapfrogging

روش آزمایش پیشنهادی

یک جعبه با دیافراگم پلاستیکی الاستیک و دهانه دایروی بسازید
دود سرد (یخ خشک) داخل جعبه بریزید تا گرداب مرئی شود
با فیلم‌برداری موضع مرکز گرداب را در برابر زمان ثبت کنید
سرعت را با شعاع دهانه مقایسه کنید
برخورد دو گرداب را بررسی کنید (leapfrogging)

شبیه‌سازی تعاملی (Python)

این شبیه‌سازی مستقیماً در مرورگر شما اجرا می‌شود — بدون نیاز به نصب Python. بارگذاری اولیه ممکن است چند ثانیه طول بکشد.

فشار پرتاب P (Pa) 2000 Pa

شعاع حلقه R (m) 0.05 m

شعاع مقطع حلقه a (m) 0.01 m

ضریب پسا Cd 0.2

برای شروع، دکمه زیر را بفشارید.

آزمایشگاه کد Python

این کد آماده را می‌توانید ویرایش کنید، داده‌های آزمایشی خودتان را وارد کنید و مستقیماً در مرورگر اجرا کنید — بدون نیاز به نصب Python.

Python — قابل ویرایش

# آزمایش گردابهٔ هوا — رابطهٔ برد با فشار پرتاب
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

rho = 1.2
R = 0.05; a = 0.01; Cd = 0.2
A = np.pi*R**2
m_ring = rho * (2*np.pi*R) * (np.pi*a**2) * 2

# --- بخش ۱: داده‌های شما ---
# فشار پرتاب اندازه‌گیری‌شده (Pa) و برد قابل مشاهدهٔ حلقه (m)
P_Pa   = np.array([500, 1000, 2000, 3500, 5000, 7500])
range_m= np.array([1.6, 2.4, 3.5, 4.7, 5.8, 7.4])

# --- بخش ۲: نظریه ---
def theoretical_range(P):
    v0 = np.sqrt(2*P/rho); dt = 0.001; v = v0; x = 0
    for i in range(6000):
        acc = -Cd*rho*A*v**2/(2*m_ring)
        v = max(v+acc*dt, 0); x += v*dt
        if v < 0.1*v0: return x
    return x

r_th = np.array([theoretical_range(P) for P in P_Pa])

# --- بخش ۳: نمودار ---
fig, ax = plt.subplots(1, 2, figsize=(11, 4.5))
Ps = np.linspace(200, 8000, 60)
rs = [theoretical_range(P) for P in Ps]
ax[0].plot(Ps, rs, 'b-', lw=2, label='theory')
ax[0].plot(P_Pa, range_m, 'ro', ms=9, label='measured')
ax[0].set_xlabel('P (Pa)'); ax[0].set_ylabel('range (m)')
ax[0].set_title('Vortex ring range vs launch pressure')
ax[0].legend(); ax[0].grid(True, alpha=0.3)

# fit: range ∝ sqrt(P)?
slope = np.polyfit(np.log(P_Pa), np.log(range_m), 1)[0]
ax[1].loglog(P_Pa, range_m, 'ro', ms=9)
ax[1].loglog(Ps, rs, 'b-')
ax[1].set_xlabel('P (Pa)'); ax[1].set_ylabel('range (m)')
ax[1].set_title(f'log-log slope = {slope:.2f}  (expected 0.5)')
ax[1].grid(True, which='both', alpha=0.3)

plt.tight_layout()

# --- بخش ۴: نتایج ---
print(" P(Pa)  r_th(m)  r_meas(m)")
for P, rt, rm in zip(P_Pa, r_th, range_m):
    print(f" {P:5.0f}  {rt:5.2f}    {rm:5.2f}")
print(f"nlog-log slope = {slope:.2f}  (ideal sqrt(P) => 0.5)")

آماده برای اجرا

خروجی