مسئله 8 IYPT 2027: ۸. دیسک رانده‌شده به بالا

شرح و تحلیل مسئله

صورت مسئله رسمی

یک دیسک سبک را روی سطح چرخانی قرار دهید. دیسک می‌تواند به سمت بالا رانده شود. این پدیده را توضیح دهید و شرایط لازم برای بالا رفتن دیسک را تعیین کنید.

مفاهیم فیزیکی کلیدی

نیروی اصطکاک و گشتاور

وقتی دیسک ساکن روی سطح چرخنده قرار می‌گیرد، اصطکاک کینتیک در نقطه تماس نیرویی در جهت چرخش سطح اعمال می‌کند. این نیرو دیسک را به چرخش وادار می‌کند. چرخش دیسک روی سطح مایل → مؤلفه‌ای از نیروی اصطکاک رو به بالا ایجاد می‌کند.

اثر ژیروسکوپی

دیسک چرخان یک ژیروسکوپ است. گشتاور ناشی از وزن باعث پرسس (precession) می‌شود که جهت محور چرخش را تغییر می‌دهد:

Ω_precession = τ / L = (r·F) / (I·ω)

پرسس باعث می‌شود دیسک مسیر مارپیچی به سمت بالا طی کند.

شرط بالا رفتن

سرعت زاویه‌ای کافی ω_disk برای غلبه بر جاذبه لازم است. نسبت سرعت دیسک به سطح چرخنده و زاویه اصطکاک نقش کلیدی دارند.

پارامترهای قابل بررسی

سرعت چرخش سطح — آستانه رانده شدن
جرم و شعاع دیسک — تأثیر بر ممان اینرسی و نیروی اصطکاک
زاویه سطح چرخنده — شیب در برابر افقی
ضریب اصطکاک — سطح صاف در برابر زبر
نقطه شروع دیسک — فاصله از محور چرخش سطح

روش آزمایش پیشنهادی

یک صفحه گردان (مثل صفحه خراطی) با سرعت قابل تنظیم تهیه کنید
دیسک‌های سبک مختلف (CD، پلاستیک) روی آن قرار دهید
حداقل سرعت لازم برای بالا رفتن را اندازه بگیرید
مسیر دیسک را با فیلم‌برداری ردیابی کنید
آستانه سرعت را با مدل نظری مقایسه کنید

تصاویر مرتبط

شبیه‌سازی تعاملی (Python)

این شبیه‌سازی مستقیماً در مرورگر شما اجرا می‌شود — بدون نیاز به نصب Python. بارگذاری اولیه ممکن است چند ثانیه طول بکشد.

فرکانس تحریک f (Hz) 30 Hz

دامنهٔ تحریک A (mm) 2 mm

ضریب بازگشت e 0.6

زمان شبیه‌سازی (s) 2 s

برای شروع، دکمه زیر را بفشارید.

آزمایشگاه کد Python

این کد آماده را می‌توانید ویرایش کنید، داده‌های آزمایشی خودتان را وارد کنید و مستقیماً در مرورگر اجرا کنید — بدون نیاز به نصب Python.

Python — قابل ویرایش

# آزمایش دیسک بالا-رانده — ارتفاع پرش برحسب فرکانس تحریک
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

g = 9.81
A = 2e-3       # دامنهٔ لرزش صفحه (m)
e = 0.55       # ضریب بازگشت اندازه‌گیری شده

# --- بخش ۱: داده‌های شما ---
f_Hz  = np.array([10, 15, 20, 25, 30, 40, 50, 60, 80])
h_mm  = np.array([2.1, 6.4, 12.8, 22.5, 34.1, 60.3, 85.7, 115.2, 168.4])

# --- بخش ۲: نظریه: شبیه‌سازی سادهٔ Newton با restitution ---
def sim_height(f, A, e, T=1.0, dt=2e-5):
    w = 2*np.pi*f; y=0; v=0; peak=0
    for i in range(int(T/dt)):
        t = i*dt
        v -= g*dt; y += v*dt
        yp = A*np.sin(w*t); vp = A*w*np.cos(w*t)
        if y <= yp:
            y = yp; v = vp - e*(v-vp)
        peak = max(peak, y)
    return peak*1000    # mm

h_theory = np.array([sim_height(f, A, e) for f in f_Hz])

# --- بخش ۳: نمودار ---
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 4.6))
ax.plot(f_Hz, h_theory, 'b-', lw=2, label=f'theory (A={A*1e3:.1f} mm, e={e})')
ax.plot(f_Hz, h_mm, 'ro', ms=9, label='measured')
ax.set_xlabel('drive frequency (Hz)'); ax.set_ylabel('max jump height (mm)')
ax.set_title('Upward-driven disc: h vs f')
ax.legend(); ax.grid(True, alpha=0.3)
plt.tight_layout()

# --- بخش ۴: نتایج ---
print(" f(Hz)   h_th(mm)  h_meas(mm)  Γ=Aω²/g")
for f, ht, hm in zip(f_Hz, h_theory, h_mm):
    Gam = A*(2*np.pi*f)**2/g
    print(f"  {f:3.0f}    {ht:6.2f}    {hm:6.2f}     {Gam:5.2f}")
rms = np.sqrt(np.mean((h_mm-h_theory)**2))
print(f"nRMS error = {rms:.2f} mm")

آماده برای اجرا

خروجی