مسئله 15 IYPT 2027: ۱۵. نوشیدنی سرد

شرح و تحلیل مسئله

صورت مسئله رسمی

کارآمدترین روش برای سرد کردن یک نوشیدنی را بیابید. نقش عوامل مختلف (نوع خنک‌کننده، تماس، اختلاط) را کمّی کنید.

مفاهیم فیزیکی کلیدی

کاهش نقطه انجماد — یخ و نمک

مخلوط یخ و نمک پدیده‌ای است که سینه‌کش‌های بستنی‌فروشان قدیم ایران و سازندگان بستنی سنتی («بستنی‌دان») به خوبی می‌شناختند: نمک نقطه انجماد آب را پایین می‌آورد. یخ برای ذوب شدن باید گرما جذب کند؛ چون نمک نقطه انجماد را پایین برده، یخ در دمای اتاق ذوب می‌شود و گرما جذب می‌کند:

ΔTf = Kf · m · i = 1.86 × m × i [°C]

برای NaCl: i = ۲ (دو یون)، m = غلظت مولال. با ۳۵۰ گرم نمک در یک لیتر آب دما به −۲۱.۲°C می‌رسد!

بستنی‌دان سنتی ایران

در سازندگان بستنی سنتی، ظرف درونی (حاوی شیر و شکر) درون ظرف بیرونی‌تری که پر از یخ خرد شده و نمک بود قرار می‌گرفت. مخلوط یخ-نمک در دمای ۱۰ تا ۱۵ درجه زیر صفر — بدون هیچ دستگاه برقی — بستنی درست می‌کرد. این پدیده دقیقاً کاهش نقطه انجماد خاصیت جمعی (colligative property) است که به تعداد ذرات حل‌شده بستگی دارد، نه ماهیت آن‌ها.

انتقال گرما — هدایت در برابر همرفت

سرعت سرد شدن نوشیدنی به ضریب انتقال گرمای کل بستگی دارد:

Q = U · A · ΔT, 1/U = 1/h_inner + t/k + 1/h_outer

چرخش قوطی در آب-یخ-نمک سطح تماس را تازه نگه می‌دارد و h_outer را افزایش می‌دهد.

گرمای نهان ذوب

یخ در حال ذوب شدن دما را ثابت نگه می‌دارد چون تمام انرژی صرف ذوب می‌شود (L = ۳۳۴ kJ/kg). این باعث می‌شود خنک‌کننده یخ بسیار مؤثرتر از آب سرد باشد.

پارامترهای قابل بررسی

نسبت یخ به نمک — بهینه‌سازی برای کمترین دمای مخلوط
نوع نمک — NaCl، CaCl₂ (i=3)، MgCl₂
اندازه تکه‌های یخ — تماس بیشتر = انتقال گرما بهتر
چرخاندن ظرف — تأثیر بر ضریب انتقال گرمای همرفتی
عایق‌بندی ظرف بیرونی — کاهش ورود گرمای محیط

روش آزمایش پیشنهادی

قوطی نوشابه با دمای اولیه مشخص را در سه حالت قرار دهید: (الف) یخ خالص، (ب) یخ + آب، (ج) یخ + نمک + آب
دمای قوطی را هر ۳۰ ثانیه با ترموکوپل ثبت کنید
نمودار T(t) سه حالت را مقایسه کنید
نسبت‌های مختلف نمک/یخ را امتحان کنید — بهینه را پیدا کنید
محاسبه کنید کدام روش با کمترین مقدار نمک به دمای هدف می‌رسد

شبیه‌سازی تعاملی (Python)

این شبیه‌سازی مستقیماً در مرورگر شما اجرا می‌شود — بدون نیاز به نصب Python. بارگذاری اولیه ممکن است چند ثانیه طول بکشد.

دمای اولیه T0 (°C) 80 °C

دمای محیط T∞ (°C) 5 °C

τ در هوا (min) 40 min

τ در حمام یخ (min) 6 min

برای شروع، دکمه زیر را بفشارید.

آزمایشگاه کد Python

این کد آماده را می‌توانید ویرایش کنید، داده‌های آزمایشی خودتان را وارد کنید و مستقیماً در مرورگر اجرا کنید — بدون نیاز به نصب Python.

Python — قابل ویرایش

# آزمایش «نوشیدنی سرد» — فیت τ برای چند روش سرد کردن
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# --- بخش ۱: داده‌های شما ---
# زمان اندازه‌گیری (دقیقه)
t_min = np.array([0, 2, 5, 10, 15, 20, 30, 45])
# دما در محیط‌های مختلف (°C)
T_air  = np.array([80, 76, 70, 62, 55, 49, 41, 32])
T_ref  = np.array([80, 74, 66, 55, 46, 39, 28, 18])
T_ice  = np.array([80, 55, 32, 15,  9,  7,  6,  5])

Tinf_air = 22.0
Tinf_ref = 5.0
Tinf_ice = 0.5

# --- بخش ۲: نظریه: فیت T(t) = T∞ + (T0−T∞) exp(−t/τ) روی هر ست ---
def fit_tau(t, T, Tinf, T0):
    y = (T[T > Tinf+0.1] - Tinf)/(T0 - Tinf)
    tt = t[T > Tinf+0.1]
    ln_y = np.log(y)
    slope, _ = np.polyfit(tt, ln_y, 1)
    return -1/slope   # minutes

tau_air = fit_tau(t_min, T_air, Tinf_air, 80)
tau_ref = fit_tau(t_min, T_ref, Tinf_ref, 80)
tau_ice = fit_tau(t_min, T_ice, Tinf_ice, 80)

t_sm = np.linspace(0, 45, 200)
T_air_th = Tinf_air + (80 - Tinf_air)*np.exp(-t_sm/tau_air)
T_ref_th = Tinf_ref + (80 - Tinf_ref)*np.exp(-t_sm/tau_ref)
T_ice_th = Tinf_ice + (80 - Tinf_ice)*np.exp(-t_sm/tau_ice)

# --- بخش ۳: نمودار ---
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 4.8))
ax.plot(t_min, T_air, 'ro', ms=8);  ax.plot(t_sm, T_air_th, 'r-', label=f'air τ={tau_air:.1f} min')
ax.plot(t_min, T_ref, 'gs', ms=8);  ax.plot(t_sm, T_ref_th, 'g-', label=f'fridge τ={tau_ref:.1f} min')
ax.plot(t_min, T_ice, 'b^', ms=8);  ax.plot(t_sm, T_ice_th, 'b-', label=f'ice τ={tau_ice:.1f} min')
ax.set_xlabel('time (min)'); ax.set_ylabel('drink T (°C)')
ax.set_title('Cold drink cooling curves')
ax.legend(); ax.grid(True, alpha=0.3)
plt.tight_layout()

# --- بخش ۴: نتایج ---
print(f"τ (still air)    = {tau_air:.2f} min")
print(f"τ (refrigerator) = {tau_ref:.2f} min")
print(f"τ (ice bath)     = {tau_ice:.2f} min")
print(f"nSpeed-up ice / air     = {tau_air/tau_ice:.1f}×")
print(f"Speed-up ice / fridge  = {tau_ref/tau_ice:.1f}×")

آماده برای اجرا

خروجی